Đáp án Đề ôn thi HSG Quốc gia môn vật lý - Sự dẫn điện của kim loại
LỜI GIẢI CHI TIẾT CHO PHẦN THI LÝ THUYẾT
Để đọc chi tiết hơn về bài viết liên quan, vui lòng truy cập: Đề ôn thi HSG Quốc gia Vật lý - Sự dẫn điện của kim loại .
Câu hỏi lý thuyết 1 (10 điểm)
1A (3.5 điểm)
Rất dễ dàng để chứng minh rằng cú nhảy của khối lập phương xuất hiện tại vị trí của đĩa trượt như được mô tả trong hình vẽ bên trái. Gọi u là vận tốc của khối lập phương có khối lượng M tại thời điểm này, và w là vận tốc tương đối theo phương ngang của đĩa trượt có khối lượng m so với khối lập phương.
Vì ma sát trong hệ thống hoàn toàn không có, nên thành phần theo phương ngang của động lượng toàn hệ được bảo toàn:
\[ mv = Mu + m(u - w) \tag{1} \]Đồng thời, năng lượng cơ học toàn phần cũng được bảo toàn:
\[ \frac{mv^2}{2} = \frac{Mu^2}{2} + \frac{m}{2} \left[ w^2 + (u - w)^2 \right] + 2mgR. \tag{2} \]Trong hệ quy chiếu gắn với khối lập phương, đĩa trượt chuyển động với vận tốc w theo quỹ đạo tròn bán kính R. Phương trình chuyển động của nó theo phương bán kính được cho bởi:
\[ N + mg = \frac{mw^2}{R}. \tag{3} \]Điều kiện để khối lập phương rời khỏi mặt bàn được xác định theo định luật III Newton như sau:
\[ N = Mg. \tag{4} \]Giải hệ phương trình (1)-(4), ta thu được vận tốc của đĩa trượt:
\[ v = \sqrt{gR} \sqrt{5 + \frac{M}{m} + 4 \frac{m}{M}}. \tag{5} \]Vận tốc tối thiểu của đĩa trượt được xác định bằng cách lấy đạo hàm của phương trình (5) theo M/m:
\[ v_{\min} = 3\sqrt{gR} \tag{6} \]và nó đạt được khi tỉ số khối lượng:
\[ \frac{M}{m} = 2. \tag{7} \]Thang điểm chấm
| № | Nội dung | Điểm |
|---|---|---|
| 1 | Công thức (1) | 0.5 |
| 2 | Công thức (2) | 0.5 |
| 3 | Công thức (3) | 0.5 |
| 4 | Công thức (4) | 0.5 |
| 5 | Công thức (5) | 0.5 |
| 6 | Công thức (6) | 0.5 |
| 7 | Công thức (7) | 0.5 |
1B (4 điểm)
Chúng ta có thể thay thế mạch vô hạn các nguồn dòng bằng một nguồn dòng hiệu dụng có suất điện động ε và điện trở trong r. Do đó, ta thu được mạch điện như trong hình bên trái. Sau đó, ta ngắt bỏ điện trở R, thêm hai nguồn dòng khác và kết nối lại điện trở R. Như vậy, ta thu được mạch điện như trong hình bên phải. Vì số lượng các tế bào với nguồn là vô hạn, nên cả hai mạch phải tương đương với nhau ở mọi giá trị của R.
Theo các định luật dòng điện một chiều, ta có thể chứng minh rằng hai mệnh đề sau đúng:
- Nếu ta lấy hai nguồn dòng có ε₁, r₁ và ε₂, r₂, mắc nối tiếp, thì chúng có thể được thay thế bằng một nguồn đơn với:
- Nếu ta lấy hai nguồn dòng có ε₁, r₁ và ε₂, r₂, mắc song song, thì chúng có thể được thay thế bằng một nguồn đơn với:
Áp dụng hai quy tắc trên vào mạch bên phải, ta phải thu được mạch bên trái. Do đó, các quan hệ sau cần được thỏa mãn:
\[ ε = \frac{(ε + ε_1) r_2 + ε_2 (r + r_1)}{r + r_1 + r_2}, \tag{1} \] \[ r = \frac{r_2 (r + r_1)}{r + r_1 + r_2}. \tag{2} \]Lời giải được cho bởi:
\[ ε = ε_2 + \frac{ε_1}{2} \left(\sqrt{1 + \frac{4r_2}{r_1}} - 1\right) = 3.0 \text{ V}, \tag{3} \] \[ r = \frac{r_1}{2} \left(\sqrt{1 + \frac{4r_2}{r_1}} - 1\right) = 1.0 \Omega. \tag{4} \]Do đó, dòng điện chạy qua điện trở R được tính bằng:
\[ I = \frac{ε}{R + r} = 1.0 \text{ A}. \tag{5} \]Thang điểm chấm
| № | Nội dung | Điểm |
|---|---|---|
| 1 | Mạch điện tương đương | 1.0 |
| 2 | Quy tắc 1 | 0.5 |
| 3 | Quy tắc 2 | 0.5 |
| 4 | Công thức (1) | 0.5 |
| 5 | Công thức (2) | 0.5 |
| 6 | Công thức (3) | 0.25 |
| 7 | Công thức (4) | 0.25 |
| 8 | Công thức (5) | 0.5 |
1C (2.5 điểm)
Tất cả các tia sáng phát ra từ điểm A sau khi khúc xạ qua thấu kính phải đi qua điểm A'; tất cả các tia sáng phát ra từ điểm B sau khi khúc xạ qua thấu kính phải đi qua điểm B'. Các tia đi qua quang tâm của thấu kính không bị đổi hướng. Do đó, giao điểm của đường thẳng AA' và BB' chính là quang tâm O của thấu kính.
Nếu một tia sáng đi qua cả hai điểm A và B, thì nó cũng phải đi qua các điểm A' và B'. Hệ quả là giao điểm của các đường thẳng AB và A'B' nằm trong mặt phẳng của thấu kính. Do đó, mặt phẳng của thấu kính đi qua các điểm O và C.
Trục quang chính của thấu kính đi qua quang tâm của nó và vuông góc với mặt phẳng của thấu kính. Các bước dựng hình tiếp theo là truyền thống: ta vẽ tia BD đi qua điểm B và song song với trục quang chính. Sau khi khúc xạ qua thấu kính, tia này (hoặc phần kéo dài của nó) sẽ đi qua điểm B'. Từ sự kéo dài của tia sáng đến khi cắt trục quang chính, ta tìm được một tiêu điểm chính F₁.
Tương tự, ta tìm tiêu điểm chính thứ hai F₂. Hình vẽ trên cho thấy thấu kính là thấu kính phân kỳ (lõm).
Câu hỏi lý thuyết 2 (10 điểm)
Độ dẫn điện của kim loại
Định luật Ohm
1. (1 điểm)
Theo định luật Joule-Lenz, công suất nhiệt tỏa ra trong dây dẫn được tính theo công thức:
\[ P = \frac{U^2}{R}. \tag{1} \]Điều này có nghĩa là mật độ công suất nhiệt riêng P_V được viết là:
\[ P_V = \frac{U^2}{RV} = \frac{U^2}{R S l}. \tag{2} \]Với các mối quan hệ:
\[ R = \frac{\rho l}{S} = \frac{1}{\sigma} \frac{l}{S}, \quad E = \frac{U}{l}, \tag{3} \]ta thu được:
\[ P_V = \sigma E^2. \tag{4} \]Mô hình Drude
2. (1 điểm)
Định luật II Newton cho chuyển động của electron trong một điện trường không đổi được viết dưới dạng:
\[ ma = F = -eE. \]Từ phương trình trên, suy ra trong khoảng thời gian τ, electron di chuyển được quãng đường:
\[ s = \frac{a\tau^2}{2}. \]Do đó, độ lớn của vận tốc trung bình của electron là:
\[ u = \frac{s}{\tau} = \frac{a\tau}{2} = \frac{eE\tau}{2m}, \tag{7} \]hoặc dưới dạng vector:
\[ \mathbf{u} = -\frac{e\tau}{2m} \mathbf{E}. \tag{8} \]3. (1 điểm)
Mật độ dòng điện phụ thuộc vào mật độ số electron, điện tích của chúng và vận tốc trung bình như sau:
\[ j = -ne u = \frac{e^2 n \tau}{2m} E, \tag{9} \]đây chính là định luật Ohm với độ dẫn điện riêng được xác định là:
\[ \sigma = \frac{e^2 n \tau}{2m}. \tag{10} \]4. (1 điểm)
Mỗi electron truyền động năng của nó tại cuối giai đoạn gia tốc, tức là vào thời điểm va chạm với ion:
\[ E_k = \frac{m u_{\max}^2}{2} = \frac{m}{2} \left(\frac{eE\tau}{m}\right)^2. \tag{11} \]Theo định nghĩa, có n electron trong mỗi mét khối của dây dẫn, và mỗi electron truyền động năng (11) trong khoảng thời gian τ. Do đó, tổng năng lượng riêng Q_V được các electron truyền cho mạng tinh thể trong một đơn vị thể tích và một đơn vị thời gian là:
\[ Q_V = \frac{nE_k}{\tau} = \frac{n m u^2}{2 \tau} = \frac{e^2 n \tau}{2m} E^2 = \sigma E^2. \tag{12} \]Biểu thức này trùng với phương trình (4), do đó chứng minh tính đúng đắn của định luật Joule-Lenz trong mô hình Drude.
Hiện tượng từ điện trở (Magnetoresistance)
5. (1 điểm)
Trong sự có mặt của từ trường, phương trình chuyển động của electron được viết dưới dạng:
\[ m \frac{d\mathbf{u}}{dt} = -e\mathbf{E} - e\mathbf{u} \times \mathbf{B}. \tag{13} \]Chiếu phương trình này lên các trục tọa độ, ta thu được:
\[ m \frac{du_x}{dt} = eE + eB u_y, \tag{14} \] \[ m \frac{du_y}{dt} = -eB u_x, \tag{15} \] \[ m \frac{du_z}{dt} = 0. \tag{16} \]Phương trình (16) cho thấy rằng quỹ đạo của electron nằm trong mặt phẳng XY. Đặt:
\[ u_x' = u_x, \quad u_y' = u_y + \frac{E}{B}, \]thay vào phương trình (14)-(15), ta thu được:
\[ m \frac{du_x'}{dt} = eB u_y, \] \[ m \frac{du_y'}{dt} = -eB u_x'. \]Nghiệm của phương trình trên có dạng dao động điều hòa:
\[ u_x' = A\cos(\omega t + \alpha), \] \[ u_y' = A\sin(\omega t + \alpha). \]Hoặc viết lại theo biến cũ:
\[ u_x = A\cos(\omega t + \alpha), \tag{21} \] \[ u_y = A\sin(\omega t + \alpha) - \frac{E}{B}, \tag{22} \]trong đó:
\[ \omega = \frac{eB}{m}. \]Từ điều kiện ban đầu u_x = 0 và u_y = 0, ta xác định được:
\[ A = \frac{E}{B}, \quad \alpha = \frac{\pi}{2}. \]Thay vào phương trình (21) và (22), ta có:
\[ u_x (t) = \frac{E}{B} \sin\left(\frac{eB}{m} t\right), \tag{23} \] \[ u_y (t) = -\frac{E}{B} \left[1 - \cos\left(\frac{eB}{m} t\right)\right]. \tag{24} \]6. (2 điểm)
Khi cảm ứng từ B có độ lớn nhỏ, phương trình (23) có dạng xấp xỉ:
\[ u_x = \frac{eE}{m} t - \frac{e^3 E B^2}{6 m^3} t^3. \tag{25} \]Quãng đường electron di chuyển theo trục OX trong khoảng thời gian τ là:
\[ s = \frac{eE}{2m} \tau^2 - \frac{e^3 E B^2}{24 m^3} \tau^4, \tag{26} \]và vận tốc trung bình được tính bởi:
\[ u_{\text{av}} = \frac{s}{\tau} = \frac{eE}{2m} \tau - \frac{e^3 E B^2}{24 m^3} \tau^3. \tag{27} \]Do đó, ta có thể xác định độ lệch tương đối của độ dẫn điện riêng:
\[ \frac{\Delta \sigma}{\sigma} = \frac{n e u_{\text{av}}(B) - n e u_{\text{av}}(B = 0)}{n e u_{\text{av}}(B = 0)} = -\frac{1}{12} \left(\frac{e \tau B}{m}\right)^2. \tag{28} \]Và suy ra:
\[ \mu = -\frac{1}{12} \left(\frac{e \tau}{m}\right)^2, \quad v = 2. \tag{29} \]Hiệu ứng Hall
7. (0.5 điểm)
Lực Lorentz tác dụng lên các electron hướng xuống dưới, do đó điện tích âm sẽ tích tụ ở mặt dưới của thanh dẫn.
8. (1.5 điểm)
Vì các electron tích tụ gần mặt dưới của thanh dẫn, nên điện trường Hall E_H có hướng ngược lại với trục OY. Khi đó, phương trình chuyển động của electron (13) được viết lại dưới dạng:
\[ m \frac{du_x}{dt} = eE + eB u_y, \tag{30} \] \[ m \frac{du_y}{dt} = eE_H - eB u_x, \tag{31} \] \[ m \frac{du_z}{dt} = 0. \tag{32} \]Một lần nữa, quỹ đạo của electron nằm trong mặt phẳng XY. Đặt:
\[ u_x' = u_x - \frac{E_H}{B}, \quad u_y' = u_y + \frac{E}{B}, \]thay vào phương trình (30) và (31), ta thu được:
\[ m \frac{du_x'}{dt} = eB u_y', \tag{33} \] \[ m \frac{du_y'}{dt} = -eB u_x'. \tag{34} \]Nghiệm của phương trình trên có dạng dao động điều hòa:
\[ u_x' = A\cos(\omega t + \alpha), \tag{35} \] \[ u_y' = A\sin(\omega t + \alpha). \tag{36} \]Hoặc viết lại theo biến cũ:
\[ u_x = A\cos(\omega t + \alpha) + \frac{E_H}{B}, \tag{37} \] \[ u_y = A\sin(\omega t + \alpha) - \frac{E}{B}. \tag{38} \]Từ điều kiện ban đầu u_x = 0 và u_y = 0, ta thu được nghiệm cuối cùng:
\[ u_x (t) = \frac{E}{B} \sin\left(\frac{eB}{m} t\right) + \frac{E_H}{B} \left[1 - \cos\left(\frac{eB}{m} t\right)\right], \tag{39} \] \[ u_y (t) = \frac{E_H}{B} \sin\left(\frac{eB}{m} t\right) - \frac{E}{B} \left[1 - \cos\left(\frac{eB}{m} t\right)\right]. \tag{40} \]9. (1 điểm)
Khi cảm ứng từ B có độ lớn nhỏ, điều kiện để độ dời cuối cùng theo phương OY bằng 0 tại thời điểm τ được xác định bằng:
\[ \int_0^\tau u_y (t) dt = 0 \Rightarrow E_H = \frac{eE\tau}{3m B}, \tag{41} \]hoặc:
\[ E_H = \frac{2j}{3ne B}. \tag{42} \]Thang điểm chấm
| Nội dung | Điểm |
|---|---|
| Định luật Joule-Lenz (1) | 0.25 |
| Công suất nhiệt riêng (2) | 0.25 |
| Công thức (3) | 0.25 |
| Kết quả cuối cùng (4) | 0.25 |
| Phương trình chuyển động (5) | 0.25 |
| Đường đi (6) | 0.25 |
| Vận tốc trung bình (7) | 0.25 |
| Vector vận tốc trung bình (8) | 0.25 |
| Mật độ dòng điện (9) | 0.5 |
| Độ dẫn điện riêng (10) | 0.5 |
| Động năng của electron (11) | 0.5 |
| Tổng năng lượng nhiệt truyền đi (12) | 0.5 |
| Phương trình chuyển động (13) | 0.25 |
| Hệ phương trình chuyển động (14)-(16) | 0.25 |
| Vận tốc (23) | 0.25 |
| Vận tốc (24) | 0.25 |
| Khai triển của vận tốc (25) | 0.25 |
| Độ dời (26) | 0.25 |
| Vận tốc trung bình (27) | 0.5 |
| Kết quả cuối cùng (29) | 2 × 0.5 |
| Xác định đúng mặt tích điện | 0.5 |
| Hệ phương trình chuyển động (30)-(32) | 0.5 |
| Vận tốc (39) | 0.5 |
| Vận tốc (40) | 0.5 |
| Cường độ điện trường Hall (41) | 0.5 |
| Cường độ điện trường Hall (42) | 0.5 |
Câu hỏi lý thuyết 3
1. (1 điểm)
Hằng số C được xác định từ điều kiện rằng tổng số hạt bằng N:
\[ \sum_{n=1}^{\infty} N_n = N. \tag{1} \]Thay biểu thức của hàm phân bố Boltzmann và thực hiện phép tổng, ta thu được:
\[ N = \sum_{n=1}^{\infty} N_n = \sum_{n=1}^{\infty} C \exp\left(-\frac{n \epsilon}{k_B T}\right) = C \frac{\exp\left(-\frac{\epsilon}{k_B T}\right)}{1 - \exp\left(-\frac{\epsilon}{k_B T}\right)}. \]2. (3 điểm)
Nội năng của khí là tổng động năng của tất cả các nguyên tử:
\[ U = \sum_{n=1}^{\infty} E_n N_n = \sum_{n=1}^{\infty} C n \epsilon \exp\left(-\frac{n \epsilon}{k_B T}\right) = C \frac{\exp\left(-\frac{\epsilon}{k_B T}\right)}{(1 - \exp\left(-\frac{\epsilon}{k_B T}\right))^2}. \]Suy ra:
\[ U = \frac{N \epsilon}{1 - \exp\left(-\frac{\epsilon}{k_B T}\right)}. \]Trong giới hạn cổ điển k_B T \gg \epsilon, số mũ có giá trị nhỏ, do đó có thể sử dụng xấp xỉ:
\[ \exp\left(-\frac{\epsilon}{k_B T}\right) \approx 1 - \frac{\epsilon}{k_B T}. \]Khi đó, ta thu được:
\[ U = N k_B T. \tag{4} \]Ở nhiệt độ thấp, số mũ tự nó có giá trị rất nhỏ, tức là:
\[ \exp\left(-\frac{\epsilon}{k_B T}\right) \ll 1. \]Do đó:
\[ U = \frac{N \epsilon}{1 - \exp\left(-\frac{\epsilon}{k_B T}\right)} \approx N\epsilon \left(1 + \exp\left(-\frac{\epsilon}{k_B T}\right)\right). \tag{5} \]3. (3 điểm)
Nhiệt dung mol tại thể tích không đổi được xác định bởi:
\[ C_V = \frac{\partial U}{\partial T}. \tag{6} \]Trong trường hợp tổng quát nhất, ta có:
\[ C_V = \frac{\partial U}{\partial T} = \frac{N_A \epsilon}{(1 - \exp(-\epsilon/(k_B T)))^2} \exp\left(-\frac{\epsilon}{k_B T}\right) \frac{\epsilon}{k_B T^2}. \]Hay có thể viết lại dưới dạng:
\[ C_V = R \left(\frac{\epsilon}{k_B T}\right)^2 \frac{\exp\left(-\frac{\epsilon}{k_B T}\right)}{(1 - \exp\left(-\frac{\epsilon}{k_B T}\right))^2}. \tag{7} \]Để xấp xỉ biểu thức này trong hai trường hợp giới hạn, ta sử dụng các khai triển từ Phần 2.
- Trong giới hạn nhiệt độ cao: \( k_B T \gg \epsilon \), nhiệt dung mol là một hằng số.
Ở nhiệt độ thấp:
\[ U = N_A \epsilon \left(1 + \exp\left(-\frac{\epsilon}{k_B T}\right)\right), \]nên:
\[ C_V = N_A \epsilon \frac{\epsilon}{k_B T^2} \exp\left(-\frac{\epsilon}{k_B T}\right) = R \left(\frac{\epsilon}{k_B T}\right)^2 \exp\left(-\frac{\epsilon}{k_B T}\right). \]Ta thấy rằng nhiệt dung mol tiến về 0 khi nhiệt độ giảm về 0. Đồ thị mô phỏng được thể hiện trong Hình 1.
4. (3 điểm)
Việc tính toán áp suất khí có thể thực hiện theo nhiều cách khác nhau. Ví dụ, lực trung bình mà một nguyên tử tác dụng lên thành bình bằng tỉ số của động lượng truyền đi và khoảng thời gian giữa hai va chạm liên tiếp:
\[ f_n = \frac{\Delta p}{\Delta \tau} = \frac{2m v_n^2}{L/v_n} = \frac{m v_n^2}{L} = \frac{2E_n}{L}. \tag{10} \]Để xác định áp suất, cần tổng hợp các lực này:
\[ P = \frac{n}{S} \sum_{n=1}^{\infty} N_n f_n = \frac{2}{S L} \sum_{n=1}^{\infty} N_n E_n = \frac{2U}{V}. \tag{11} \]Thay công thức nội năng của khí (3), ta thu được:
\[ P = \frac{2N}{V} \frac{\epsilon}{1 - \exp(-\epsilon / k_B T)}. \tag{12} \]Trong hai trường hợp giới hạn, ta sử dụng các biểu thức nội năng đã tính trước đó.
- Khi \( k_B T \gg \epsilon \), ta có:
nghĩa là áp suất tỉ lệ với nhiệt độ tuyệt đối.
- Ở nhiệt độ thấp, ta có:
Khi nhiệt độ tiến về 0, áp suất tiến về giá trị không đổi:
\[ P_0 = \frac{2N\epsilon}{V}. \tag{15} \]Đồ thị mô phỏng áp suất theo nhiệt độ được thể hiện trong Hình 2.
Thang điểm chấm
| № | Nội dung | Điểm |
|---|---|---|
| 1 | Điều kiện chuẩn hóa (1) | 0.5 |
| 2 | Tính số hạt (2) | 0.5 |
| 3 | Biểu thức tổng quát của nội năng \( U \) | 0.5 |
| 4 | Tính toán nội năng \( U \) (3) | 1.0 |
| 5 | Tính giới hạn cổ điển của \( U \) (4) | 0.5 |
| 6 | Tính giới hạn nhiệt độ thấp của \( U \) (5) | 1.0 |
| 7 | Biểu thức tổng quát của nhiệt dung mol \( C_V \) (6) | 0.5 |
| 8 | Tính nhiệt dung mol \( C_V \) (7) | 1.0 |
| 9 | Tính giới hạn cổ điển của \( C_V \) (8) | 0.5 |
| 10 | Tính giới hạn nhiệt độ thấp của \( C_V \) (9) | 0.5 |
| 11 | Đồ thị mô phỏng \( C_V \) | 0.5 |
| 12 | Biểu thức tổng quát của lực trung bình (10) | 0.5 |
| 13 | Biểu thức tổng quát của áp suất \( P \) (11) | 0.5 |
| 14 | Tính áp suất \( P \) (12) | 0.5 |
| 15 | Tính giới hạn cổ điển của \( P \) (13) | 0.5 |
| 16 | Tính giới hạn nhiệt độ thấp của \( P \) (14) | 0.5 |
| 17 | Đồ thị mô phỏng \( P \) | 0.5 |
Để đọc chi tiết hơn về bài viết liên quan, vui lòng truy cập: Đề ôn thi HSG Quốc gia Vật lý - Sự dẫn điện của kim loại .
Không có nhận xét nào: