Đáp án chi tiết Đề ôn thi HSG quốc gia và chọn đội tuyển Quốc tế môn vật lí - Hiệu ứng Hall lượng tử
Lời giải
1.1 Trò chơi nước
1.a)
Vì không có ma sát tác động, có thể tính vận tốc v của nước ở cuối máng bằng định luật bảo toàn năng lượng. Ta có:
\[ \frac{1}{2} \rho v^2 = \rho g L \sin \alpha \]
Suy ra:
\[ v = \sqrt{2 g L \sin \alpha} \]
Ở đây, \( \alpha \) là góc nghiêng của máng so với phương ngang, \( g \) là gia tốc trọng trường trên Trái Đất, và \( \rho \) là mật độ của nước.
Sau khi rời khỏi máng, nước rơi tự do. Thành phần vận tốc ban đầu theo phương thẳng đứng là \( v \sin \alpha \), do đó, khoảng rơi theo thời gian \( t \) kể từ lúc rời máng là:
\[ y(t) = \frac{1}{2} g t^2 + v \sin \alpha \cdot t \]
Nước chạm đất khi \( y(t_{\text{Boden}}) = h \). Thay thế vận tốc từ phương trình (1.1) vào ta được phương trình bậc hai theo \( t_{\text{Boden}} \), chỉ có một nghiệm dương duy nhất:
\[ t_{\text{Boden}} = \sqrt{\frac{2L}{g}} \left( \sqrt{\sin^3 \alpha + \frac{h}{L}} - \sin^{3/2} \alpha \right) \]
Khoảng cách ngang \( x \) mà nước di chuyển trước khi chạm đất là:
\[ x = v \cos \alpha \cdot t_{\text{Boden}} = 2L \sqrt{\sin \alpha} \cos \alpha \left( \sqrt{\sin^3 \alpha + \frac{h}{L}} - \sin^{3/2} \alpha \right) \]
Điều đáng chú ý là kết quả này không phụ thuộc vào gia tốc trọng trường \( g \).
Xác định khoảng cách tối đa
Để tìm giá trị cực đại của \( x \), ta có thể biểu diễn \( x \) theo \( \alpha \) như trong Hình 3 và xác định giá trị cực đại một cách đồ thị.
Từ đồ thị, khoảng cách tối đa \( x_{\text{max}} \) xấp xỉ:
\[ x_{\text{max}} = (137 \pm 1) \text{ cm} \]
Tại góc \( \alpha = (25 \pm 1)^\circ \).
1.2 Đường đệm khí và ma sát trên tường
1.b)
Chúng ta xác định phương vuông góc với tường là phương \( x \) (hướng dương sang phải) và phương dọc theo tường là phương \( y \) (hướng dương lên trên). Xét va chạm đầu tiên của khối lập phương với tường bên phải.
Vì trong phương \( x \) chỉ có lực biến dạng đàn hồi tác động, nên không có sự mất mát năng lượng chuyển động. Do đó, thành phần vận tốc theo phương \( x \) của khối lập phương sau va chạm vẫn giữ nguyên độ lớn nhưng đổi dấu. Tường tác động một lực xung lên khối lập phương, gây ra sự thay đổi động lượng \( \Delta p_x \) trong phương \( x \):
\[ \int dt F_x = \Delta p_x = -mv_x - (-mv_x) = -2mv_x = -2mv_0 \cos \alpha \]
Trong phương \( y \), lực ma sát trượt \( F_R \) tác động trong quá trình va chạm làm giảm chuyển động theo phương này, dẫn đến sự thay đổi động lượng \( \Delta p_y \):
\[ \Delta p_y = -\int dt F_R = -\int dt \mu F_N = \mu \int dt F_x = \mu \Delta p_x = -2\mu mv_0 \cos \alpha \]
Ta sử dụng định nghĩa rằng lực ma sát được biểu diễn dưới dạng tích của lực pháp tuyến \( F_N \) lên tường và hệ số ma sát trượt \( \mu \).
Vì lực xung theo phương \( x \) có độ lớn không đổi ở mỗi lần va chạm, nên sự thay đổi động lượng theo phương \( y \) cũng có độ lớn không đổi và ta có:
\[ |\Delta p_y| = |-2\mu mv_0 \cos \alpha| = 2\mu mv_0 \sin \alpha = 2\mu p_y^{(0)} \]
Với \( \alpha = 45^\circ \), ta có \( \sin \alpha = \cos \alpha \), do đó, sau mỗi lần va chạm với tường, động lượng theo phương \( y \) giảm đi một phần \( 2\mu \) của động lượng ban đầu \( p_y^{(0)} \).
Sau \( N = 5 \) lần va chạm với tường, khối lập phương mất hoàn toàn động lượng theo phương \( y \), do đó hệ số ma sát trượt phải thỏa mãn:
\[ 1 = N \cdot 2\mu \quad \Rightarrow \quad \mu = \frac{1}{2N} = 0,1 \]
Khoảng cách di chuyển theo phương y
Vận tốc của khối lập phương theo phương \( x \) không thay đổi trong suốt quá trình chuyển động, nên thời gian để di chuyển từ một tường đến tường đối diện là \( \frac{b}{v_x} \).
Động lượng theo phương \( y \) sau lần va chạm thứ \( i \) với \( 0 \leq i \lt 5 \) được tính là:
\[ p_y^{(0)} (1 - 2i\mu) \]
Do đó, quãng đường di chuyển theo phương \( y \) giữa lần va chạm thứ \( i \) và \( i+1 \) là:
\[ y^{(i)} = \frac{p_y^{(0)}}{m} (1 - i2\mu) \frac{b}{v_x} = b \frac{p_y^{(0)}}{p_x} (1 - \frac{i}{N}) = b(1 - \frac{i}{N}) \]
Tổng khoảng cách theo phương \( y \) mà khối lập phương di chuyển đến lần va chạm thứ \( N \) là:
\[ y = \sum_{i=0}^{N-1} y^{(i)} = b \sum_{i=0}^{N-1} (1 - \frac{i}{N}) = b \left(N - \frac{(N-1)N}{2N} \right) = \frac{N+1}{2} b \]
Với \( N = 5 \), ta có:
\[ y = 3b \]
2.1 Dòng điện không mong đợi
2.a)
Điều kiện lượng tử hóa đã cho dẫn đến xung lượng \( p_n \) tại mức lượng tử thứ \( n \) là:
\[ p_n (B) = \frac{\hbar}{r} \left(n + \frac{e r^2}{2\hbar} B \right) \]
Do đó, năng lượng là:
\[ E_n (B) = \frac{p_n^2}{2m} = \frac{\hbar^2}{2mr^2} \left(n + \frac{e r^2}{2\hbar} B \right)^2 \]
Hiệu giữa các mức năng lượng với số lượng tử dương và âm:
\[ E_n (B) - E_{-n} (B) = \frac{\hbar^2}{2mr^2} \left\{ \left(n + \frac{e r^2}{2\hbar} B \right)^2 - \left(-n + \frac{e r^2}{2\hbar} B \right)^2 \right\} = \frac{\hbar e n}{m} B \]
Như vậy, từ trường phá vỡ đối xứng giữa hai chiều quay của electron.
2.b)
Phổ năng lượng sẽ được ánh xạ lên chính nó nếu từ thông \( B \) tăng lên \( \Delta B \), khi thỏa mãn:
\[ E_n (B+\Delta B) = E_{n+k} (B) \]
với một số tự nhiên \( k \). Theo phương trình (2.2), điều này có nghĩa là:
\[ n + \frac{e r^2}{2\hbar} (B+\Delta B) = n + k + \frac{e r^2}{2\hbar} B \]
Suy ra:
\[ \Delta B = \frac{2\hbar}{e r^2} k \]
Giá trị nhỏ nhất của \( \Delta B \) đạt được khi \( k = 1 \):
\[ \Delta B = \frac{2\hbar}{e r^2} \]
Do đó, khi tăng từ trường lên giá trị \( \Delta B \), mức năng lượng \( E_n \) sẽ dịch chuyển đến mức năng lượng \( E_{n+1} \). Tương tự, nếu từ trường giảm đi \( -\Delta B \), mức năng lượng \( E_n \) sẽ chuyển xuống \( E_{n-1} \).
2.c)
Dòng điện \( I_n \) gây ra bởi một electron ở mức lượng tử thứ \( n \) là:
\[ I_n (B) = -\frac{e v_n (B)}{2\pi r} \]
Vận tốc \( v_n \) của electron được xác định từ động lượng \( p_n = m v_n \). Thay thế từ phương trình (2.1), ta có:
\[ I_n (B) = -\frac{e p_n}{2\pi r m} = -\frac{e \hbar}{2\pi r^2 m} \left(n + \frac{e r^2}{2\hbar} B \right) \]
Với \( \Delta B = \frac{2\hbar}{e r^2} \) như đã tính ở phần trước, ta viết lại:
\[ I_n (B) = -\frac{e \hbar}{2\pi r^2 m} \left(n + \frac{B}{\Delta B} \right) \]
2.d) Xét số lẻ và số chẵn của electron
Số lẻ electron
Một số lẻ \( N \) electron có thể được viết dưới dạng \( N = 2M + 1 \) với \( M \in \mathbb{N} \). Khi \( B = 0 \), các mức năng lượng đối xứng quanh \( n = 0 \), nên ở nhiệt độ thấp, tất cả các mức năng lượng với \( -M \leq n \leq M \) đều được lấp đầy. Với cường độ từ trường nhỏ, sự phân bố này không thay đổi, do đó tổng dòng điện \( I(B) \) được tính là:
\[ I(B) = \sum_{n=-M}^{M} -\frac{e\hbar}{2\pi r^2 m} \left(n + \frac{B}{\Delta B} \right) = -\frac{e\hbar N}{2\pi r^2 m} \frac{B}{\Delta B} = -2I_0 \frac{B}{\Delta B} \]
Biểu thức này có giá trị trong khoảng \( -\frac{\Delta B}{2} \leq B \lt \frac{\Delta B}{2} \).
Khi tăng cường độ từ trường, các mức năng lượng thay đổi theo phương trình (2.2). Với \( B = \frac{\Delta B}{2} \), mức năng lượng với \( n = -(M+1) \) bằng mức năng lượng với \( n = M \), tức là:
\[ E_{-(M+1)}(\Delta B/2) = \frac{\hbar^2}{2mr^2} \left(-M-1+\frac{1}{2} \right)^2 = \frac{\hbar^2}{2mr^2} \left(M+\frac{1}{2} \right)^2 = E_M(\Delta B/2) \]
Khi tăng thêm từ trường, năng lượng mức \( M \) tăng lên, trong khi năng lượng mức \( -(M+1) \) giảm xuống. Vì tổng năng lượng electron phải tối thiểu, trạng thái \( M \) không còn được lấp đầy, mà thay vào đó là trạng thái \( -(M+1) \). Điều này dẫn đến thay đổi dòng điện:
\[ I_{-(M+1)} - I_M = -\frac{e\hbar}{2\pi r^2 m} (-M-1-M) = \frac{e\hbar N}{2\pi r^2 m} = 2I_0 \]
Dòng điện nhảy từ \( -I_0 \) lên \( I_0 \) khi \( B = \frac{\Delta B}{2} \), sau đó giảm tuyến tính khi tiếp tục tăng \( B \). Những bước nhảy này xảy ra theo chu kỳ \( \Delta B \), tức là khi mức năng lượng cao nhất chưa lấp đầy có năng lượng bằng mức đã lấp đầy.
Số chẵn electron
Một số chẵn \( N \) electron có thể được viết dưới dạng \( N = 2M \) với \( M \in \mathbb{N} \). Với từ trường nhỏ \( B \), theo phương trình (2.3), các mức năng lượng với số lượng tử dương có năng lượng cao hơn mức đối xứng với số lượng tử âm. Do đó, ở nhiệt độ thấp, tất cả mức năng lượng \( -M \leq n \leq M-1 \) đều được lấp đầy. Tổng dòng điện lúc này là:
\[ I(B) = \sum_{n=-M}^{M-1} -\frac{e\hbar}{2\pi r^2 m} \left(n + \frac{B}{\Delta B} \right) = 2I_0 \left(\frac{1}{2} - \frac{B}{\Delta B} \right) \]
Biểu thức này có giá trị trong khoảng \( 0 \leq B \lt \Delta B \). Khi \( B = \Delta B \), một sự thay đổi trong phân bố mức năng lượng xảy ra vì trạng thái với số lượng tử \( -(M+1) \) có cùng năng lượng với trạng thái \( M-1 \):
\[ E_{-(M+1)} (\Delta B) = \frac{\hbar^2}{2mr^2} \left(-M-1+1 \right)^2 = \frac{\hbar^2}{2mr^2} \left(M-1+1 \right)^2 = E_{M-1} (\Delta B) \]
Tóm tắt
Dòng điện \( I(B) \) trong vòng có thể được biểu diễn như sau:
\[ I(B) = \begin{cases} -2I_0 \left(\frac{B}{\Delta B} - \lfloor \frac{B}{\Delta B} + \frac{1}{2} \rfloor \right), & \text{với } N \text{ lẻ} \\ I_0 - 2I_0 \left(\frac{B}{\Delta B} - \lfloor \frac{B}{\Delta B} \rfloor \right), & \text{với } N \text{ chẵn} \end{cases} \]
với \( I_0 = \frac{e\hbar N}{4\pi r^2 m} \) và \( \Delta B = \frac{2\hbar}{e r^2} \). Hàm sàn \( \lfloor A \rfloor \) biểu thị số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng \( A \). Ví dụ: \( \lfloor 3/2 \rfloor = 1 \) và \( \lfloor -1/2 \rfloor = -1 \).
Cả cường độ dòng điện tối đa và tính chu kỳ của nó đều không phụ thuộc vào việc số lượng electron trong vòng là chẵn hay lẻ.
2.e) Cường độ dòng điện tối đa
Cường độ dòng điện tối đa tương ứng với giá trị đã được xác định là \( I_0 \). Với các giá trị đã cho, ta có:
\[ I_{\text{max}} = \frac{e\hbar N}{4\pi r^2 m} = \frac{e\hbar \lambda}{2rm} \approx 6,2 \times 10^{-8} \text{ A} \]
Ước lượng từ giả thuyết rằng dòng điện được gây ra bởi một electron duy nhất chuyển động với vận tốc Fermi trên quỹ đạo tròn cho ta kết quả:
\[ I_{\text{max}} \approx \frac{e v_F}{2\pi r} = \frac{e \sqrt{2E_F/m}}{2\pi r} \approx 1,7 \times 10^{-7} \text{ A} \]
2.f) Ảnh hưởng của nhiệt độ
Hai giá trị trên chênh lệch nhau khoảng một bậc ba nhưng vẫn nằm trong cùng một quy mô.
Hiệu ứng này sẽ biến mất khi năng lượng nhiệt \( k_B T \) đạt đến cùng bậc với khoảng cách mức năng lượng của trạng thái lượng tử. Để ước tính, ta xét trường hợp số lẻ \( N = 2M+1 \) electron và \( B = 0 \):
\[ E_{M+1} - E_M = \frac{\hbar^2}{2mr^2} \left( (M+1)^2 - M^2 \right) = \frac{\hbar^2 N}{2mr^2} = \frac{\pi \hbar^2 \lambda}{mr} \]
So sánh với năng lượng nhiệt ta có:
\[ T_{\text{max}} = \frac{\pi \hbar^2 \lambda}{k_B mr} \approx 19 \text{ K} \]
Như vậy, trên khoảng 20 K, hiệu ứng này sẽ không còn quan sát được. Thực tế, hiệu ứng chỉ được quan sát ở nhiệt độ thấp hơn (tham khảo tài liệu trong phần chú thích).
Ghi chú: Hiện tượng được gọi là dòng điện bền (persistent currents) đã được dự đoán lý thuyết từ những năm 19805. Tuy nhiên, bằng chứng thực nghiệm thuyết phục chỉ đạt được trong vòng mười năm trở lại đây6.
2.2 Hiệu ứng Hall lượng tử
2.g) Hằng số Klitzing
Theo đề bài, hằng số Klitzing có thể được viết dưới dạng:
\[ R_K = h^\alpha e^\beta c^\gamma \]
với các hằng số thực \( \alpha, \beta, \gamma \). So sánh các đơn vị vật lý, ta có:
\[ [R_K] = V A^{-1} = [h]^\alpha [e]^\beta [c]^\gamma = V^\alpha A^{\alpha+\beta} s^{2\alpha+\beta-\gamma} m^\gamma \]
So sánh hệ số, ta suy ra:
\[ \alpha = 1, \quad \beta = -2, \quad \gamma = 0 \]
Do đó, từ phân tích đơn vị, ta có:
\[ R_K = \frac{h}{e^2} \]
2.h) Ảnh hưởng của từ trường
Trong từ trường, lực Lorentz đóng vai trò là lực hướng tâm cần thiết để giữ electron chuyển động trên quỹ đạo tròn. Bán kính \( r \) của quỹ đạo electron và tần số góc \( \omega \) tuân theo phương trình:
\[ m \omega^2 r = e \omega r B \]
Do đó:
\[ \omega = \frac{eB}{m} \]
Tần số cyclotron \( \omega \) không phụ thuộc vào bán kính quỹ đạo. Đối với lượng tử hóa, cần lưu ý rằng trong trường hợp này chỉ có một chiều quay khả thi của electron, được xác định bởi quy luật của lực Lorentz. Vì vậy, số lượng tử \( n \) không thể nhận giá trị âm hoặc bằng không.
Điều kiện lượng tử hóa của Bohr
Điều kiện lượng tử hóa của Bohr đối với các quỹ đạo cyclotron với \( n \in \mathbb{N} \) cho:
\[ n = \frac{r_n p_n}{\hbar} - \frac{e r_n^2 B}{2\hbar} = \frac{m \omega r_n^2}{\hbar} - \frac{e r_n^2 B}{2\hbar} = \frac{e r_n^2 B}{2\hbar} \]
Suy ra:
\[ r_n = \sqrt{\frac{2n\hbar}{eB}} \]
Các mức năng lượng của quỹ đạo tròn được lượng tử hóa là:
\[ E_n = \frac{m \omega^2 r_n^2}{2} = \frac{\hbar e B}{m} n = \hbar \omega n \]
Ghi chú: Khi xét hoàn toàn theo cơ học lượng tử, mức năng lượng của các mức Landau được tính là:
\[ E_n = \hbar \omega \left(n + \frac{1}{2} \right) \text{ với } n \in \mathbb{N} \]
2.i) Phương trình chuyển động của electron
Chọn hệ tọa độ sao cho các electron có thể di chuyển trong mặt phẳng \( x - y \) và trường điện \( E \) hướng theo trục \( x \). Từ thông \( B \) hướng theo trục \( z \).
Trên một electron có vị trí \( \mathbf{r} = (x, y, 0) \) tác động bởi lực điện và lực Lorentz do từ trường gây ra. Phương trình chuyển động của electron là:
\[ \mathbf{F} = m \ddot{\mathbf{r}} = -e \left( \mathbf{E} + \dot{\mathbf{r}} \times \mathbf{B} \right) \]
Biểu diễn dưới dạng ma trận:
\[ -e \begin{bmatrix} E \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \\ 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ B \end{bmatrix} = -e \begin{bmatrix} E + \dot{y} B \\ -\dot{x} B \\ 0 \end{bmatrix} \]
Tích phân theo thời gian \( t \) cho vận tốc:
\[ \begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \\ 0 \end{bmatrix} = -\frac{e}{m} \begin{bmatrix} E t + (y - y_0) B \\ -(x - x_0) B \\ 0 \end{bmatrix} + \mathbf{v}_0 \]
với \( \mathbf{r}_0 \) và \( \mathbf{v}_0 \) là vị trí và vận tốc ban đầu của electron.
Thay thế vào phương trình chuyển động, ta có:
\[ m \ddot{\mathbf{r}} = -\frac{e}{m} \left( \mathbf{E} + \frac{e}{m} B^2 (x - x_0) + \dot{y}_0 B \right) \]
Biểu diễn dạng ma trận:
\[ \begin{bmatrix} \ddot{x} \\ \ddot{y} \\ 0 \end{bmatrix} = -\frac{e}{m} \mathbf{E} - \frac{e}{m} \mathbf{r}_0 \times \mathbf{B} - \frac{e^2 B^2}{m^2} \left[ \mathbf{r} - \mathbf{r}_0 + \begin{bmatrix} 0 \\ E/B t \\ 0 \end{bmatrix} \right] \]
Diễn giải: Biểu thức gia tốc này có thể được hiểu như sau:
- Hạng tử đầu tiên là gia tốc do trường điện.
- Hạng tử thứ hai biểu diễn lực Lorentz do vận tốc ban đầu của electron.
- Hạng tử thứ ba tương ứng với dao động điều hòa hai chiều quanh tọa độ \( \mathbf{r}_0 - (0, E/B t, 0) \).
Như vậy, vị trí cân bằng của dao động di chuyển với tốc độ \( |v_D| = E/B \) theo phương \( y \). Đây chính là sự trôi dạt (drift) của quỹ đạo cyclotron.
2.j) Lượng tử hóa quỹ đạo trôi dạt
Tương tự như lượng tử hóa các quỹ đạo cyclotron, lượng tử hóa quỹ đạo trôi dạt được xác định bởi:
\[ \frac{R_l m v_D}{\hbar} - \frac{e R_l^2 B}{2\hbar} = -l \]
Trong đó, hạng tử đầu tiên tỉ lệ với \( v_D = \frac{E}{B} \), trong khi hạng tử thứ hai không phụ thuộc vào \( E \). Khi trường điện \( E \) đủ nhỏ, có thể bỏ qua hạng tử đầu tiên. Khi đó, bán kính quỹ đạo trôi dạt được xác định là:
\[ R_l = \sqrt{\frac{2\hbar l}{eB}} = \sqrt{\frac{h l}{\pi e B}} \]
Dấu trừ trong phương trình ban đầu đã được hấp thụ vào số lượng tử \( l \), do đó \( l \) có thể nhận tất cả các số tự nhiên.
2.k) Dòng điện do quỹ đạo trôi dạt
Dòng điện do quỹ đạo trôi dạt thứ \( l \) gây ra là:
\[ I_l = \frac{e v_D}{2\pi R_l} = \frac{eE}{2\pi B} \sqrt{\frac{\pi e B}{h l}} \]
Tổng dòng điện \( I_H \) do trôi dạt của electron được tính bằng tổng các dòng điện đóng góp từ tất cả các quỹ đạo trôi dạt có bán kính trong khoảng \( R_1 \) đến \( R_2 \). Giới hạn số lượng tử \( l \) được xác định bởi:
\[ l_{1,2} = \frac{\pi e B R_{1,2}^2}{h} \]
Tổng các đóng góp riêng lẻ có thể được xấp xỉ bằng một tích phân:
\[ I_H = \sum_{l=l_1}^{l_2} I_l \approx \frac{eE}{2\pi} \sqrt{\frac{\pi e}{h B}} \int_{l_1}^{l_2} \frac{dl}{\sqrt{l}} \]
Giải tích phân, ta được:
\[ I_H = \frac{eE}{\pi} \sqrt{\frac{\pi e}{h B}} \left( \sqrt{l_2} - \sqrt{l_1} \right) \]
Thay các giá trị lượng tử vào, ta thu được:
\[ I_H = \frac{e^2 E}{h} (R_2 - R_1) = \frac{e^2}{h} U \]
Kết quả này phù hợp với phần đầu của bài toán và dẫn đến hằng số Klitzing:
\[ R_K = \frac{h}{e^2} \]
Bảng 1: Dữ liệu đo thể tích không khí trong xy lanh đo
Bảng dưới đây thể hiện thể tích \( V \) của không khí trong xy lanh đo phụ thuộc vào nhiệt độ nước \( T \). Các giá trị tham chiếu ở nhiệt độ phòng là \( T_0 = (21,0 \pm 0,5)^\circ C \) và \( V_0 = (88,2 \pm 0,3) \) mL.
| \( T \) (°C) | 45,0 | 42,5 | 41,0 | 39,0 | 38,0 | 36,0 | 34,5 | 33,0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( V \) (mL) | 96,2 | 95,4 | 94,8 | 94,2 | 93,8 | 93,3 | 92,9 | 92,1 |
| \( T \) (°C) | 31,0 | 30,0 | 28,5 | 28,0 | 27,0 | 25,5 | 23,5 | 21,0 |
| \( V \) (mL) | 91,5 | 91,0 | 90,4 | 90,2 | 89,9 | 89,4 | 88,9 | 88,2 |
Đánh giá sai số
Sai số khi đọc thang đo nhiệt độ được ước tính là \( \delta T = \pm 0,5 \) K. Sai số hệ thống không ảnh hưởng đến độ dốc vì chúng bị triệt tiêu khi tính hiệu nhiệt độ. Sai số khi đọc thang đo thể tích được ước tính là \( \delta V = \pm 0,3 \) mL, giá trị này phù hợp với sai số khi đo chiều cao cột chất lỏng và nhân với diện tích mặt cắt của xy lanh.
Phân tích và đánh giá sai số
Biểu đồ ở Hình 7 thể hiện thể tích không khí \( V \) trong xy lanh đo theo nhiệt độ \( T \) tính bằng \(^\circ C\). Các sai số trong dữ liệu đo được hiển thị dưới dạng thanh lỗi.
Từ tam giác độ dốc trên đồ thị, độ dốc của đường hồi quy được xác định là:
\[ \alpha = (0,34 \pm 0,03) \text{ mL K}^{-1} \]
Giá trị này được tính từ trung bình của miền giá trị được xác định bởi các đường hồi quy khác nhau. Với công thức (3.1) và thể tích không khí ban đầu \( V_0 = (88,2 \pm 0,3) \) mL, ta có thể tiếp tục tính toán các hệ số khác.
Hệ số giãn nở thể tích của không khí
Ở nhiệt độ phòng, hệ số giãn nở thể tích của không khí được tính như sau:
\[ \gamma = \frac{\alpha}{V_0} = \frac{(0,34 \pm 0,03) \text{ mL K}^{-1}}{(88,2 \pm 0,3) \text{ mL}} = (3,9 \pm 0,4) \times 10^{-3} \text{ K}^{-1} \]
Tổng sai số tương đối được ước tính từ các sai số tương đối của hai đại lượng thành phần.
Theo phương trình trạng thái khí lý tưởng, sự thay đổi thể tích được mô tả bởi:
\[ \Delta V = \frac{nR}{p} \Delta T = \frac{nR}{V_0 p} V_0 \Delta T = \frac{1}{T_0} V_0 \Delta T = \gamma V_0 \Delta T \]
Vì vậy, giá trị lý thuyết mong đợi đối với khí lý tưởng là:
\[ \gamma = \frac{1}{T_0} = \frac{1}{(273,15 + 21 \pm 2) \text{ K}} = (3,40 \pm 0,03) \times 10^{-3} \text{ K}^{-1} \]
Sai số của phép đo nhiệt độ được ước lượng rộng hơn để tính đến sai số hệ thống có thể có của nhiệt kế.
Giá trị đo được thực nghiệm cao hơn đáng kể so với giá trị mong đợi của khí lý tưởng, nhưng vẫn nằm trong phạm vi sai số.
3.2 Áp suất không khí
3.b) Phân tích lý thuyết
Phương trình trạng thái khí lý tưởng cho thấy rằng ở nhiệt độ và lượng chất khí không đổi, tích số \( pV \) là hằng số. Quy luật này, còn được gọi là định luật Boyle-Mariotte, có thể được viết lại dưới dạng:
\[ V = \frac{nRT}{p} \]
Nếu áp suất thay đổi từ áp suất khí quyển \( p_0 \) đến một giá trị \( p = p_0 + \Delta p \) với \( |\Delta p| \ll p_0 \), thì thể tích thay đổi xấp xỉ bằng:
\[ \Delta V = V - V_0 = nRT \left( \frac{1}{p_0 + \Delta p} - \frac{1}{p_0} \right) \approx -\frac{nRT}{p_0^2} \Delta p = -\frac{V_0}{p_0} \Delta p \]
Do đó, sự thay đổi thể tích \( \Delta V \) của một chất khí tại nhiệt độ không đổi và với lượng chất không đổi sẽ tỉ lệ với sự thay đổi áp suất \( \Delta p \).
Xác định áp suất không khí
Xét tình huống được minh họa trong Hình 8. Trong một ống hoặc ống dẫn có tiết diện không đổi \( A \), một phần được chứa đầy nước, bên trái là một thể tích không khí bị chặn lại bởi một nút bịt với thể tích \( V = A z \). Đầu bên phải của ống mở ra môi trường.
Nếu mực nước ở phần bên phải thay đổi (ví dụ, bằng cách nâng cao đầu ống), áp suất trong phần không khí bị nhốt cũng thay đổi do áp lực thủy tĩnh của nước, từ đó ảnh hưởng đến chiều cao \( z \) của thể tích không khí bị nhốt.
Hệ tọa độ được chọn sao cho chiều cao \( h \) được đếm theo hướng lên trên, còn \( z \) theo hướng xuống dưới. Khi \( h = h_0 \), chiều cao ban đầu của thể tích không khí bị nhốt bên trái là \( z_0 = z(h_0) \). Khi đó, thể tích ban đầu của không khí ở áp suất khí quyển là \( V_0 = A z_0 \).
Biểu thức (3.7) có thể được viết lại dưới dạng:
\[ \Delta z = z(h) - z_0 \approx -\frac{z_0 \rho g}{p_0} (\Delta h + \Delta z) \]
Suy ra:
\[ \Delta z \approx -\frac{1}{\frac{p_0}{z_0 \rho g} + 1} \Delta h \]
Trong đó, áp suất \( \Delta p \) được thay thế bằng áp suất thủy tĩnh \( \rho g (h - h_0 + z - z_0) \) của cột nước bên phải so với phần nước trong ống bên trái.
Phần phân số trong biểu thức của \( \Delta z \) có thể được xấp xỉ bằng \( \frac{z_0 \rho g}{p_0} \) khi giả định rằng áp suất khí quyển lớn hơn nhiều so với áp suất thủy tĩnh của cột nước. Tuy nhiên, trong phần tiếp theo, phép tính sẽ không sử dụng gần đúng này.
Do đó, sự thay đổi \( \Delta z \) xấp xỉ là một hàm tuyến tính của sự thay đổi độ cao \( \Delta h \) của nước trong phần bên phải.
Từ độ dốc \( \beta \) của hàm này, áp suất khí quyển \( p_0 \) có thể được xác định theo công thức:
\[ \beta = -\frac{1}{\frac{p_0}{z_0 \rho g} + 1} \quad \text{tương đương với} \quad p_0 = -z_0 \rho g \left( \frac{1}{\beta} + 1 \right) \]
Mô tả thí nghiệm và dữ liệu đo
Như minh họa trong Hình 9, thí nghiệm sử dụng một ống nhựa trong suốt có đường kính \( d = (1,10 \pm 0,05) \) cm, được làm đầy gần như hoàn toàn bằng nước. Các bọt khí bên trong ống đã được loại bỏ bằng cách lắc và gõ nhẹ.
Ở phía bên trái của hình vẽ, đầu ống được bịt kín bằng một nút chặn, và vị trí \( z_0 \) của mực nước được đánh dấu bằng bút khi mực nước ở cả hai phần của ống có cùng độ cao. Đầu mở bên phải của ống được thay đổi độ cao, cố định bằng băng dính vào một tủ, và độ cao \( h \) được đo từ mặt đất bằng một thước đo phân đoạn. Các độ chênh lệch chiều cao khoảng 2 m đã được ghi nhận, vẫn còn nhỏ so với áp suất khí quyển (tương đương với một cột nước khoảng 10 m). Sự thay đổi của mực nước trong phần ống bên trái được đo bằng thước kẻ.
Chiều cao \( z_0 \) của thể tích không khí bị nhốt tại áp suất khí quyển được đo là \( z_0 = (107 \pm 1) \) mm, do đó thể tích không khí ban đầu là:
\[ V_0 = \frac{\pi}{4} d^2 z_0 = (10 \pm 1) \text{ cm}^3 \]
Chiều cao ban đầu \( h_0 \) được đo là \( (41,1 \pm 0,1) \) cm.
Bảng 2: Dữ liệu đo
Bảng dưới đây ghi lại dữ liệu thực nghiệm. Với mỗi giá trị chiều cao \( h \) của mực nước trong phần ống bên phải, sự thay đổi \( \Delta z \) của chiều cao phần không khí bị nhốt và sự thay đổi \( \Delta h \) của mực nước được ghi nhận.
| \( h \) (cm) | 20,0 | 40,0 | 41,1 | 60,0 | 80,0 | 100,0 | 120,0 | 140,0 | 160,0 | 180,0 | 200,0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( \Delta h \) (cm) | -21,1 | -1,1 | 0,0 | 18,9 | 38,9 | 58,9 | 78,9 | 98,9 | 118,9 | 138,9 | 158,9 |
| \( \Delta z \) (mm) | 3,0 | 0,5 | 0,0 | -2,0 | -4,0 | -6,5 | -8,0 | -10,0 | -12,0 | -13,5 | -15,0 |
Đánh giá sai số
Sai số khi đọc chiều cao bằng thước phân đoạn được ước tính là \( \delta h = \pm 0,1 \) cm. Sai số của \( \Delta h \) còn bao gồm sai số của \( h_0 \). Tuy nhiên, trong phân tích dữ liệu, chỉ có độ dốc của đường hồi quy trong Hình 10 quan trọng, và sai số này không ảnh hưởng đến độ dốc, nên có thể bỏ qua.
Sai số khi đọc \( \Delta z \) được ước tính là \( \delta(\Delta z) = \pm 0,5 \) mm.
Phân tích kết quả
Hình 10 biểu diễn sự thay đổi \( \Delta z \) của chiều cao phần không khí bị nhốt trong ống bên trái theo sự chênh lệch mực nước trong phần ống bên phải, tương ứng với áp suất trong phần không khí bị nhốt.
Từ tam giác độ dốc trên đồ thị, độ dốc của đường hồi quy được xác định là:
\[ \beta = -(1,00 \pm 0,06) \times 10^{-2} \]
Sử dụng phương trình (3.9) và giá trị chiều cao ban đầu \( z_0 = (0,107 \pm 0,001) \) m của thể tích không khí tại áp suất khí quyển, áp suất khí quyển được xác định là:
\[ p_0 = -z_0 \rho g \left(\frac{1}{\beta} + 1\right) = (1,06 \pm 0,06) \times 10^5 \text{ Pa} \]
Tổng sai số tương đối được tính dựa trên tổng bình phương các sai số tương đối của các đại lượng thành phần.
Giá trị áp suất khí quyển đo được bằng cảm biến áp suất trên điện thoại thông minh tại thời điểm thí nghiệm là:
\[ p_0 = 1,021 \times 10^5 \text{ Pa} \]
(không có sai số được cung cấp). Giá trị thực nghiệm xác định có độ tương đồng tốt với giá trị đo được. Tuy nhiên, sai số của phép đo khá lớn, cho thấy phương pháp này không phù hợp để xác định chính xác áp suất khí quyển.
Đề ôn thi HSG Quốc gia và Chọn đội tuyển Quốc tế môn Vật lí – Hiệu ứng Hall lượng tử
#HiệuỨngHallLượngTử #VậtLýOlympic #BàiToánVậtLý #IPhO2018 #VậtLýNângCao #QuỹĐạoCyclotron #ĐiệnTừHọc #VậtLýLượngTử #BàiTậpOlympic #HọcSinhGiỏiVậtLý #TrườngĐiệnTừ #BàiToánKhó #ĐịnhLýHall #HướngDẫnGiảiBàiTập #VậtLýHiệnĐại
Không có nhận xét nào: