Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi Vật lí cấp Tỉnh: Tổng hợp vận tốc

Trong các kỳ thi học sinh giỏi Vật lý cấp Tỉnh hay các kỳ thi Vật lý phổ thông, chuyên đề tổng hợp vận tốc là một trong những nội dung quan trọng thường xuất hiện trong đề thi. Đây là một phần kiến thức nền tảng trong cơ học, giúp học sinh hiểu rõ cách chuyển động của một vật được quan sát từ các hệ quy chiếu khác nhau. Việc thành thạo quy tắc cộng vận tốc không chỉ giúp giải quyết các bài toán trên lớp mà còn là kỹ năng quan trọng để xử lý các bài toán phức tạp hơn trong các kỳ thi Olympic Vật lý. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng phân tích các bài toán thực tế, áp dụng công thức và rèn luyện tư duy giải nhanh. Nếu bạn đang ôn luyện cho kỳ thi vào lớp 10 chuyên hoặc các kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia, thì đây chính là tài liệu không thể bỏ qua!

Kiến thức cơ bản về Cộng vận tốc

Qui tắc tổng hợp vận tốc xác lập mối liên hệ giữa các vận tốc của cùng một chất điểm trong các hệ quy chiếu khác nhau. Trong bài này chúng ta sẽ nghiên cứu quy tắc đó thông qua việc giải một số bài tập cụ thể. Chúng ta nhắc lại rằng mỗi hệ quy chiếu phải được gắn liền với một vật làm mốc nào đó và chuyển động của cùng một chất điểm sẽ diễn ra khác nhau trong các hệ quy chiếu khác nhau.

Giả sử có hai hệ quy chiếu \( S \) và \( S' \) chuyển động đối với nhau. Vì chuyển động và đứng yên có tính tương đối nên chúng ta quy ước coi hệ \( S \) là đứng yên, còn hệ \( S' \) chuyển động. Chuyển động của chất điểm \( M \) đối với hệ \( S \) được gọi là chuyển động tuyệt đối, còn chuyển động đối với hệ \( S' \) được gọi là chuyển động tương đối. Một cách tương ứng, vận tốc của \( M \) đối với hệ \( S \) được gọi là vận tốc tuyệt đối, còn đối với hệ \( S' \) được gọi là vận tốc tương đối. Để dễ hình dung chúng ta có thể lấy thí dụ như: chọn căn phòng làm hệ \( S \), còn quả cầu không khí vừa bay vừa quay là hệ \( S' \) và chất điểm \( M \) là con kiến đang bò trên quả cầu.

Chúng ta đưa thêm vào một khái niệm nữa là vận tốc kéo theo. Đây là vận tốc của một điểm trong hệ \( S' \), mà chất điểm \( M \) đi qua vào thời điểm đã cho, đối với hệ \( S \). Trong thí dụ của chúng ta đó là vận tốc đối với căn phòng của điểm trên quả cầu mà con kiến đang bò qua đó.

Ở bất kỳ thời điểm nào, vận tốc tuyệt đối \( \vec{v}_A \), vận tốc tương đối \( \vec{v}_O \) và vận tốc kéo theo \( \vec{v}_C \) cũng liên hệ với nhau bởi hệ thức:

\[ \vec{v}_A = \vec{v}_O + \vec{v}_C \]

Đây chính là công thức tổng hợp vận tốc. Chúng ta nêu ra hai nhận xét sau đây:

• Vận tốc kéo theo \( \vec{v}_C \) không phải là vận tốc của hệ \( S' \) đối với hệ \( S \). Thực vậy, trong khi chuyển động quả cầu không khí còn quay nên vận tốc của các điểm khác nhau trên quả cầu đối với căn phòng là khác nhau. Chính vì vậy, nói đến vận tốc của quả cầu (tức của hệ \( S' \)) đối với căn phòng (tức hệ \( S \)) là vô nghĩa. Chỉ trong trường hợp hệ \( S' \) chuyển động tịnh tiến chứ không quay thì vận tốc của tất cả điểm của \( S' \) đối với \( S \) là như nhau và người ta gọi đó là vận tốc của hệ \( S' \) đối với hệ \( S \).
• Hệ thức giữa vận tốc tuyệt đối, vận tốc tương đối và vận tốc kéo theo chỉ thuần túy là hệ thức động học, không có liên quan gì đến việc hệ \( S \) và hệ \( S' \) là hệ quy chiếu quán tính hay không quán tính. Cả hai hệ đều có thể là hệ không quán tính.

Bây giờ chúng ta xét các bài toán cụ thể.

Bài toán 1

Trên boong một con tàu thủy đang chuyển động đối với bờ sông với vận tốc \( u = 15 \) km/h có một hành khách đi với vận tốc \( v_0 = u/3 \) đối với boong tàu, theo phương lập với trục dọc của tàu góc \( \alpha = 30^\circ \) (xem H.1). Hãy tìm vận tốc của hành khách đó đối với bờ.

Hình 1: Cộng vận tốc: Người đi trên thuyền

Chúng ta lấy bờ sông làm hệ quy chiếu đứng yên và tàu thủy làm hệ quy chiếu chuyển động. Khi đó \( \vec{v}_0 \) là vận tốc tương đối, \( \vec{u} \) là vận tốc kéo theo. Vận tốc của hành khách đối với bờ \( \vec{v} \) sẽ là vận tốc tuyệt đối. Theo công thức tổng hợp vận tốc:

\[ \vec{v} = \vec{v}_0 + \vec{u} \]

Hình 2: Cộng vận tốc theo quy tắc cộng vecto

Sử dụng định lý cosin, chúng ta tìm được độ lớn vận tốc \( v \) của hành khách đối với bờ và góc \( \beta \) giữa vận tốc này và trục tàu:

\[ v = \sqrt{u^2 + v_0^2 - 2 u v_0 \cos{\alpha}} = \frac{u\sqrt{7}}{3} \approx 13 \text{ km/h} \]

\[ \sin{\beta} = \frac{v_0}{v} \sin{\alpha} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{7}} \approx 0.33, \quad \beta \approx 19^\circ \]

Bài toán 2

Trong phòng có một cái đĩa quay với vận tốc góc \( \omega \) không đổi quanh trục cố định \( O \) đi qua tâm đĩa và vuông góc với đĩa. Một con bọ dừa bò trên mặt đĩa dọc theo bán kính với vận tốc \( v_0 \) đối với đĩa (H.3). Hãy tìm độ lớn vận tốc của con bọ dừa đối với phòng vào thời điểm nó ở điểm \( A \) cách trục \( O \) khoảng \( R \).

Hình 3: Con bọ bò trên đĩa đang quay

Tất nhiên là nên chọn phòng làm hệ quy chiếu đứng yên, còn đĩa là hệ quy chiếu chuyển động. Khi đó, \( \vec{v}_0 \) là vận tốc tương đối. Vận tốc kéo theo \( \vec{v}_C \) là vận tốc của điểm \( A \) đối với phòng. Vận tốc kéo theo \( \vec{v}_C \) hướng vuông góc với phương bán kính \( OA \) và có độ lớn bằng:

\[ v_C = R \omega \]

Vận tốc của con bọ dừa \( \vec{v} \) đối với phòng là vận tốc tuyệt đối. Theo quy tắc tổng hợp vận tốc:

\[ \vec{v} = \vec{v}_0 + \vec{v}_C \]

Hình 4: Vận tốc con bộ được tổng hợp từ vận tốc đối với đĩa và vận tốc của điểm A

Độ lớn vận tốc của con bọ dừa đối với phòng bằng:

\[ v = \sqrt{v_0^2 + v_C^2} = \sqrt{v_0^2 + \omega^2 R^2} \]

Bài toán 3

Bán kính của một hành tinh \( r = 2000 \) km. Vận tốc các điểm trên xích đạo bằng \( v_1 = 0.6 \) km/s. Một vệ tinh chuyển động trong mặt phẳng xích đạo của hành tinh trên quỹ đạo bán kính \( R = 3000 \) km, theo chiều quay của hành tinh với vận tốc \( v_2 = 2 \) km/s. Hãy tìm vận tốc của vệ tinh đối với hành tinh.

Chọn hệ quy chiếu đứng yên là hệ mà vận tốc \( \vec{v}_1 \) và \( \vec{v}_2 \) được cho trong đó. Lấy hành tinh làm hệ chuyển động. Vận tốc tuyệt đối của vệ tinh đã cho và bằng \( \vec{v}_2 \). Chúng ta cần tìm vận tốc của vệ tinh đối với hành tinh, tức là vận tốc tương đối \( \vec{v}_O \).

Giả sử vào thời điểm nào đó vệ tinh đi qua điểm \( M \) gắn liền với hành tinh bằng một thanh tưởng tượng \( OM \) (H.5). Vận tốc của điểm \( M \) trong hệ quy chiếu đứng yên chính là vận tốc kéo theo \( \vec{v}_C \). Chúng ta hãy tìm nó.

Hình 5: Cộng vận tốc trong hệ quy chiếu quay

Vận tốc góc quay của hành tinh bằng:

\[ \omega = \frac{v_1}{r} \]

Còn vận tốc kéo theo là:

\[ v_C = \omega R = \frac{v_1 R}{r} \]

Theo quy tắc tổng hợp vận tốc:

\[ \vec{v}_2 = \vec{v}_O + \vec{v}_C \]

Ta nhận thấy rằng vận tốc tương đối của vệ tinh cùng hướng với vận tốc tuyệt đối \( \vec{v}_2 \) và có độ lớn bằng:

\[ v_O = v_2 - v_C = v_2 - v_1 \frac{R}{r} = 1.1 \text{ km/s} \]

Bài toán 4

Trên hai đường tròn bán kính mỗi đường bằng \( R \), nằm trong cùng một mặt phẳng, có hai ô tô \( A_1 \) và \( A_2 \) chuyển động với các vận tốc \( v_1 = v = 20 \) km/h và \( v_2 = 2v \). Kích thước các ô tô rất nhỏ so với \( R \). Vào một thời điểm nào đó thì các ô tô nằm ở các điểm \( M \) và \( C \) cách nhau \( R/2 \) (H.6).

Hình 6: Vận tốc tương đối giữa hai xe chạy trên hai quỹ đạo tròn

1. Hãy tìm vận tốc của ô tô \( A_2 \) đối với hệ quy chiếu gắn liền với ô tô \( A_1 \) vào thời điểm đó.
2. Hãy tìm vận tốc của ô tô \( A_2 \) đối với hệ quy chiếu gắn liền với ô tô \( A_1 \) khi \( A_2 \) ở điểm \( D \).

Chọn đường làm hệ quy chiếu đứng yên. Vận tốc của ô tô \( A_2 \) trong hệ quy chiếu này là vận tốc tuyệt đối. Ký hiệu \( \vec{v}_C \) và \( \vec{v}_D \) là vận tốc tuyệt đối của \( A_2 \) khi đi qua các điểm \( C \) và \( D \) (H.7). Theo đề bài:

\[ v_C = v_D = v_2 = 2v \]

Chúng ta gắn hệ quy chiếu chuyển động với ô tô \( A_1 \). Rõ ràng hệ này quay xung quanh trục \( O \) với vận tốc góc:

\[ \omega = \frac{v}{R} \]

Ký hiệu vận tốc kéo theo khi ô tô \( A_2 \) đi qua các điểm \( C \) và \( D \) là \( \vec{v}_{Ckt} \) và \( \vec{v}_{Dkt} \). Độ lớn các vận tốc này bằng:

\[ v_{Ckt} = \omega \cdot OC = \frac{v}{R} \left(R + \frac{R}{2}\right) = \frac{3}{2} v \]

\[ v_{Dkt} = \omega \cdot OD = \frac{v}{R} \left(R + \frac{R}{2} + 2R\right) = \frac{7}{2} v \]

Chúng ta cần phải tìm các vận tốc tương đối \( \vec{v}_{Ctd} \) và \( \vec{v}_{Dtd} \) của ô tô \( A_2 \) khi nó đi qua các điểm \( C \) và \( D \).

Theo quy tắc tổng hợp vận tốc (xem H.7):

Hình 7: Vận tốc của xe A2 đối với xe A1 thực ra là đối với một chiếc 'đĩa' gắn chặt với xe A1

\[ \vec{v}_C = \vec{v}_{Ctd} + \vec{v}_{Ckt}, \quad \vec{v}_D = \vec{v}_{Dtd} + \vec{v}_{Dkt} \]

Vận tốc của \( A_2 \) đối với \( A_1 \) ở các điểm \( C \) và \( D \) trùng hướng với các vận tốc của \( A_2 \) đối với đường tại các điểm này và bằng:

\[ v_{Ctd} = v_C - v_{Ckt} = 2v - \frac{3}{2} v = 10 \text{ km/h} \]

\[ v_{Dtd} = v_D + v_{Dkt} = 2v + \frac{7}{2} v = 110 \text{ km/h} \]

Bài toán 5

Trong khi trời đang mưa đá, một ô tô chạy trên đường nằm ngang với vận tốc không đổi \( u = 25 \) km/h. Một hạt mưa đá rơi xuống va chạm với tấm kính chắn gió phía trước và bật ra theo phương ngang cùng chiều chuyển động của xe. Kính chắn gió nghiêng góc \( \alpha = 30^\circ \) so với phương thẳng đứng (H.8). Cho rằng trước khi va chạm, vận tốc các hạt mưa có phương thẳng đứng và va chạm là hoàn toàn đàn hồi, hãy tìm vận tốc hạt mưa đá:

Hình 8: Tổng hợp vận tốc của hạt mưa và ô tô

1. Trước khi va chạm.
2. Sau khi va chạm.

Chúng ta chọn đường làm hệ quy chiếu đứng yên và ô tô làm hệ quy chiếu chuyển động. Chúng ta sẽ tìm vận tốc \( \vec{v}_1 \) và \( \vec{v}_2 \) của hạt mưa đá đối với đường trước và sau va chạm, tức là các vận tốc tuyệt đối của hạt mưa. Theo đề bài, \( \vec{v}_1 \) hướng thẳng đứng xuống dưới, còn \( \vec{v}_2 \) hướng nằm ngang (H.9).

Hình 9:

Ngay sau khi va chạm, vận tốc tuyệt đối \( \vec{v}_2 \), vận tốc tương đối \( \vec{v}_{2O} \) và vận tốc kéo theo của hạt mưa \( \vec{u} \) (cũng là vận tốc của ô tô) liên hệ nhau bởi hệ thức:

\[ \vec{v}_2 = \vec{v}_{2O} + \vec{u} \]

Vì \( \vec{v}_2 \) và \( \vec{u} \) hướng theo phương ngang nên \( \vec{v}_{2O} \) cũng hướng nằm ngang, do đó:

\[ v_2 = v_{2O} + u \]

Vận tốc tương đối \( \vec{v}_{2O} \) lập với pháp tuyến \( AB \) của mặt kính một góc \( \beta \), chính là góc phản xạ. Từ phần động lực học, chúng ta đã biết trong va chạm đàn hồi của một vật với bề mặt của một vật nặng, đứng yên thì:

• Góc tới bằng góc phản xạ.
• Độ lớn vận tốc tới và vận tốc phản xạ bằng nhau.

Vì vậy, vận tốc \( \vec{v}_{1O} \) của hạt mưa đá đối với ô tô ngay trước khi va chạm cũng lập với pháp tuyến \( AB \) của mặt kính một góc \( \beta \) và về độ lớn:

\[ v_{1O} = v_{2O} \]

Trước khi va chạm, hệ thức giữa vận tốc tuyệt đối \( \vec{v}_1 \), vận tốc tương đối \( \vec{v}_{1O} \) và vận tốc kéo theo \( \vec{u} \) là:

\[ \vec{v}_1 = \vec{v}_{1O} + \vec{u} \]

Từ H.9 dễ dàng chứng minh được \( \beta = \alpha \) và vận tốc tương đối \( \vec{v}_{1O} \) lập với phương ngang một góc \( 2\beta \). Sử dụng hình 9, chúng ta cũng tìm được vận tốc của hạt mưa đá trước và sau va chạm:

\begin{align} v_1 &= u \tan(2\alpha) \\ &= u \tan(2\beta) \\ &= u\sqrt{3} \approx 43 \text{ km/h} \end{align}

\begin{align} v_2 &= v_{2O} + u = v_{1O} + u \\ &= \frac{u}{\cos(2\beta)} + u \\ &= u \left(\frac{1}{\cos(2\alpha)} + 1\right) \\ &= 3u = 75 \text{ km/h} \end{align}

Bài toán 6

Một băng chuyền chuyển động với vận tốc không đổi \( v \). Băng nằm trong cùng mặt phẳng với mặt bàn. Một hộp nhỏ đang chuyển động trên mặt bàn với vận tốc \( v/2 \) thì đi vào băng chuyền theo hướng lập một góc \( \alpha \) (\( \cos{\alpha} = \frac{1}{9} \)) với mép băng. Hệ số ma sát trượt giữa hộp và băng là \( \mu \).

Hình 10: Chuyển động tương đối trên băng chuyền

1. Độ lớn vận tốc của hộp đối với băng vào lúc bắt đầu chuyển động trên băng chuyền bằng bao nhiêu?
2. Với độ rộng tối thiểu của băng bằng bao nhiêu để hộp không đi ra khỏi băng?

Chọn hệ quy chiếu đứng yên gắn liền với bàn, còn hệ quy chiếu chuyển động gắn liền băng chuyền. Khi đó, vận tốc của băng chính là vận tốc kéo theo:

\[ v_C = v \]

Lúc bắt đầu chuyển động trên băng, vận tốc tuyệt đối của hộp bằng vận tốc của hộp đối với bàn trước khi đi vào băng, vì vậy:

\[ v_A = \frac{v}{2} \]

Vận tốc tương đối của hộp đối với băng lúc bắt đầu chuyển động trên băng là \( \vec{v}_O \). Theo quy tắc tổng hợp vận tốc (H.11):

\[ \vec{v}_A = \vec{v}_O + \vec{v}_C \]

Sử dụng định lý cosin đối với tam giác, ta được:

\[ v_O^2 = v_C^2 + v_A^2 - 2 v_C v_A \cos(180^\circ - \alpha) = \frac{7v}{6} \]

Để trả lời câu hỏi thứ hai, nên chuyển sang hệ quy chiếu quán tính gắn liền với băng. Đối với băng, hộp có vận tốc ban đầu \( \vec{v}_O \) theo hướng lập với mép băng một góc \( \gamma \) nào đó và chuyển động thẳng, chậm dần đều với gia tốc \( \mu g \). Yêu cầu độ rộng của băng nhỏ nhất mà hộp không đi ra khỏi băng dẫn tới hộp phải dừng lại ở mép băng đối diện. Khi đó hộp đi được đoạn đường:

Hình 11:

\[ s = \frac{d}{\sin{\gamma}} \]

Đối với chuyển động chậm dần đều của hộp trên băng chuyền, có thể viết:

\[ v_O^2 = 2\mu g s \]

Từ hai biểu thức cuối, suy ra:

\[ d = \frac{49}{72} \frac{v^2 \sin{\gamma}}{\mu g} \]

Dựa vào định lý sin đối với tam giác, ta có:

\[ \frac{\sin{\gamma}}{\sin(180^\circ - \alpha)} = \frac{v_A}{v_O} \]

Ở đây:

\[ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin{\alpha} = \sqrt{1 - \cos^2{\alpha}} = \frac{4\sqrt{5}}{9} \]

Từ đó, chú ý đến biểu thức của \( v_A \) và \( v_O \) qua \( v \), ta được:

\[ \sin{\gamma} = \frac{4\sqrt{5}}{21} \]

Thế vào biểu thức của \( d \), ta nhận được độ rộng cực tiểu của băng chuyền để hộp không đi ra khỏi băng:

\[ d = \frac{7\sqrt{5}}{54} \frac{v^2}{\mu g} \]

Bài tập tự giải

Bài 1: Một đầu máy tàu hỏa chuyển động trên đoạn đường ray thẳng \( CD \) với vận tốc \( v \). Một ô tô chuyển động với vận tốc \( v/4 \) trên con đường có dạng một cung tròn bán kính \( R \). Khoảng cách từ tâm cung tròn đến đường ray bằng \( OK = 2R \). Vào một thời điểm nào đó, đầu tàu ở điểm \( K \) còn ô tô ở điểm \( A \). Hãy tìm vận tốc của đầu tàu đối với ô tô (hệ quy chiếu gắn liền với ô tô) vào thời điểm đó. Bỏ qua kích thước của ô tô và đầu tàu so với \( R \).

Đáp số: Vận tốc tương đối bằng \( v/2 \) và cùng hướng với đầu máy.

Bài 2: Trời đang mưa đá có một ô tô chuyển động với vận tốc \( u = 29 \) km/h trên đường nằm ngang. Một hạt mưa đá đập lên kính chắn sau của ô tô. Kính này nghiêng một góc \( \beta = 30^\circ \) so với phương ngang. Hạt mưa bật ra theo phương ngang, ngược chiều chuyển động của ô tô. Cho rằng va chạm của hạt mưa đá với kính ô tô là hoàn toàn đàn hồi và vận tốc của hạt mưa trước khi va chạm hướng thẳng đứng, hãy tìm vận tốc của hạt mưa:

1. Trước va chạm.
2. Sau va chạm.

Đáp số:

• a) \( v_1 = 50 \) km/h
• b) \( v_2 = 29 \) km/h

Bài 3: Một băng tải nằm ngang chuyển động với vận tốc không đổi \( v \). Trên băng có một đĩa nhỏ (vòng đệm) chuyển động ngang với vận tốc \( 3v \) theo hướng lập với mép đĩa một góc \( \alpha \) (\( \cos{\alpha} = 2/3 \)).

1. Đĩa nhỏ có độ lớn vận tốc bằng bao nhiêu so với băng tải khi bắt đầu chuyển động trên băng?
2. Hệ số ma sát trượt giữa đĩa và băng tải lớn nhất bằng bao nhiêu để đĩa nhỏ vẫn đi vượt qua được băng tải?

Đáp số:

• a) \( v_d = v \sqrt{14} \)
• b) \( \mu_{max} = \frac{\sqrt{70}}{2} \frac{v^2}{gd} \)

Chuyên mục: Chuyên đề bồi dưỡng HSG tỉnh, Chuyên đề vật lí 10, HSG vật lý 11,