Chất điện môi bị phân cực và năng lượng của nó
Vật lý học trong trường đôi khi được gọi là vật lý sơ cấp. Điều này thực sự đúng – trong chương trình học phổ thông không có những định luật phức tạp, khó hiểu, và việc giải bài toán không đòi hỏi toán học cao cấp. Tuy nhiên, ngay cả trong vật lý sơ cấp, vẫn có rất nhiều vấn đề sâu sắc mà câu trả lời không hề hiển nhiên.
Hãy xem một cuộc thảo luận sôi nổi đã diễn ra trong một buổi học ngoại khóa tại trường chúng tôi. Tham gia cuộc thảo luận có giáo viên vật lý (Thầy giáo) và hai học sinh (Volodya và Anton). Cuộc thảo luận bắt đầu bằng một câu hỏi rất đơn giản, nhưng kết thúc thì...
Năng lượng của tụ điện
Thầy giáo: Chủ đề của buổi học hôm nay là "Năng lượng của tụ điện". Chúng ta sẽ xét một tụ điện phẳng có điện môi là không khí, với diện tích bản cực là \( S \), khoảng cách giữa hai bản cực là \( d \). Giả sử tụ điện này đã được nạp điện với điện tích bằng \( Q \). Làm thế nào để tìm năng lượng điện tĩnh lưu trữ trong nó?
Có nhiều cách để làm điều này, chẳng hạn như sau. Hãy tưởng tượng rằng chúng ta nạp tụ điện bằng cách di chuyển điện tích từng phần nhỏ từ một bản cực sang bản cực còn lại. Công mà ta thực hiện trong quá trình này sẽ làm tăng năng lượng của tụ điện. Hãy xác định công cần thiết để nạp tụ điện đến điện tích \( Q \) – đó chính là đáp án cho câu hỏi đã đặt ra.
Gọi \( \Delta Q_i \) là điện tích của phần điện tích thứ \( i \) mà ta chuyển, và \( Q_i \) là điện tích của tụ điện trước khi phần điện tích thứ \( i \) được chuyển. Khi \( \Delta Q_i \) được di chuyển từ một bản cực sang bản cực kia, nó đi qua hiệu điện thế:
\[ U_i = \frac{Q_i}{C_0} \]
với \( C_0 = \frac{\varepsilon_0 S}{d} \) là điện dung của tụ điện. Khi đó, công cần thực hiện để di chuyển điện tích này bằng...
Công thực hiện để di chuyển phần điện tích \( \Delta Q_i \) qua hiệu điện thế \( U_i \) được tính theo công thức:
\[ \Delta A_i = U_i \Delta Q_i \]
Tổng công thực hiện để di chuyển toàn bộ điện tích \( Q \), và do đó cũng chính là năng lượng của tụ điện đã được nạp, được xác định bằng tổng các giá trị \( \Delta A_i \):
\[ W_0 = A = \sum_i U_i \Delta Q_i \]
Để tính tổng này, chúng ta vẽ đồ thị sự phụ thuộc của \( U_i \) vào \( Q_i \). Đồ thị này rất đơn giản – đó là một đường thẳng tỷ lệ (hình 1).
Dễ dàng nhận thấy rằng mỗi phần công \( \Delta A_i \) có giá trị bằng diện tích của một hình chữ nhật, với chiều rộng là đoạn \( \Delta Q_i \) và chiều cao là giá trị của đồ thị tại điểm đó. Tổng các diện tích của tất cả các hình chữ nhật này gần bằng diện tích dưới đường cong \( U(Q) \) (với \( \Delta Q_i \) rất nhỏ). Khi lấy giới hạn \( \Delta Q_i \to 0 \), ta thu được diện tích chính xác dưới đồ thị.
Hy vọng rằng không ai gặp khó khăn khi tính diện tích tam giác? Khi đó, ta có kết quả:
\[ W_0 = \frac{1}{2} U(Q) Q = \frac{Q^2}{2C_0} \]
Volodya: Hình như lập luận này đã từng xuất hiện ở đâu đó?
Thầy giáo: Tất nhiên rồi, khi tính quãng đường di chuyển trong chuyển động thẳng biến đổi đều.
Anton: Thực ra, chúng ta có thể không cần mất công vẽ những hình chữ nhật nhỏ này và tính diện tích dưới đồ thị. Về bản chất, chúng ta chỉ đơn giản là đã tính tích phân của một hàm tuyến tính.
Thầy giáo: Đúng vậy, những người am hiểu hơn có thể nói theo cách đó – và đó hoàn toàn là sự thật.
Volodya: Thật thú vị, vậy nếu giữa các bản tụ điện có chất điện môi thì kết quả có còn như vậy không?
Thầy giáo: Vậy, thực ra có sự khác biệt nào không? Trong phép tính năng lượng của chúng ta, chúng ta hoàn toàn không sử dụng đến việc tụ điện có môi trường không khí. Điều duy nhất chúng ta cần là điện dung \( C_0 \), vì nó xác định mối quan hệ giữa \( U_i \) và \( Q_i \). Nếu một tấm điện môi lấp đầy toàn bộ khoảng không giữa hai bản cực với hằng số điện môi \( \varepsilon \), thì điện dung của tụ điện sẽ tăng lên \( \varepsilon \) lần:
\[ C = \varepsilon C_0 \]
Công thức này sẽ thay \( C_0 \) trong tất cả các phương trình, bao gồm cả kết quả cuối cùng:
\[ W = \frac{Q^2}{2\varepsilon C_0} \]
Volodya: Chờ đã... Tôi thấy ít nhất còn một cách khác để tìm năng lượng này. Có thể nó sẽ cho cùng một kết quả, hoặc có thể không. Hãy xem xét điều gì xảy ra với tấm điện môi được chèn vào tụ điện của chúng ta (hình 2). Nó bị phân cực – trên bề mặt của nó xuất hiện các điện tích liên kết \( Q_s \) và \( -Q_s \). Ta có thể tìm giá trị \( Q_s \) bằng cách nhớ rằng tổng trường điện trong tấm điện môi, do các điện tích bản cực và điện tích phân cực gây ra, phải nhỏ hơn \( \varepsilon \) lần so với trường của bản cực:
\[ \frac{Q}{\varepsilon_0 \varepsilon S} = \frac{Q}{\varepsilon_0 S} - \frac{Q_s}{\varepsilon_0 S} \]
(trường giữa hai mặt phẳng mang điện tích \( Q \) và \( -Q \) là \( Q / (\varepsilon_0 S) \)). Từ đó, ta tìm được:
\[ Q_s = \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon} Q \]
Lưu ý rằng các điện tích liên kết này nằm sát với các bản cực của tụ điện. Chúng ta có thể xem mỗi bản cực và lớp điện môi tiếp giáp như một mặt phẳng tích điện duy nhất, với tổng điện tích:
\[ Q' = Q - Q_s = \frac{Q}{\varepsilon} \]
Khi đó, toàn bộ hệ thống của chúng ta chính là hai mặt phẳng mang điện tích \( Q' \) và \( -Q' \), cách nhau một khoảng \( d \). Đây chính là một tụ điện không khí có điện dung \( C_0 \), mang điện tích \( Q' \). Khi đó, năng lượng của nó là:
\[ W = \frac{Q'^2}{2C_0} = \frac{Q^2}{2\varepsilon^2 C_0} \]
tức là nhỏ hơn \( \varepsilon \) lần so với kết quả (1).
Anton: Chờ đã, tại sao tụ điện lại đột nhiên trở thành tụ điện không khí? Nó có điện môi mà, và điện dung của nó không phải \( C_0 \), mà là \( \varepsilon C_0 \).
Volodya: Không, không, ở đây chúng ta phải sử dụng \( C_0 \). Sự có mặt của điện môi đã được tính đến khi chúng ta thêm \( Q_s \) vào tổng điện tích của tụ điện. Tất cả tác động của điện môi đến các hiện tượng tĩnh điện đều quy về các điện tích liên kết của nó. Có phải khi tính trường điện trong điện môi, ta cũng sử dụng cách này không? Khi đã tính đến các điện tích liên kết, chúng ta có toàn quyền bỏ qua sự có mặt của điện môi. Thực tế, chúng ta bắt buộc phải làm vậy, nếu không chúng ta sẽ tính đến cùng một yếu tố – sự có mặt của điện môi – hai lần. Đồng ý chứ?
Thầy giáo: Hm... Nghe có vẻ hợp lý. Thực vậy, khi cộng thêm các điện tích liên kết trên bề mặt điện môi vào hệ thống, chúng ta tính trường điện của chúng giống như thể chúng tồn tại trong chân không. Đó chính là cách phương trình (2) được lập ra, từ đó Volodya tìm ra \( Q_s \). Nhưng liệu chúng ta có thể áp dụng phương pháp này khi tính năng lượng của các điện tích này không? Điều đó hoàn toàn không hiển nhiên. Trong mọi trường hợp, chỉ có một trong hai kết quả (1) hoặc (4) là đúng! Tôi hoàn toàn chắc chắn về cách lập luận của mình – không có chỗ nào để mắc sai lầm. Chúng ta đã tính toán trung thực công thực hiện để nạp điện cho tụ điện. Toàn bộ công này đã được chuyển thành năng lượng của nó – có thể đi đâu khác được?
Tuy nhiên, trong lập luận của Volodya có một điểm đáng ngờ. Khi tính năng lượng, cậu ấy đã cộng thêm các điện tích liên kết vào hệ thống, sau đó lại loại bỏ điện môi hoàn toàn, tuyên bố rằng nó không ảnh hưởng đến năng lượng của hệ thống.
Volodya: Nhưng điều đó có sai không? Năng lượng tĩnh điện chỉ liên quan đến các điện tích. Bên trong điện môi không có điện tích vĩ mô – chúng chỉ xuất hiện trên bề mặt, và những điện tích bề mặt đó đã được tính đến.
Thầy giáo: Điều đó đúng. Nhưng điện môi của chúng ta bị phân cực. Nếu nó là một điện môi không phân cực, thì khi bị phân cực, các điện tích dương và âm trong phân tử sẽ bị kéo lệch về các phía ngược nhau. Để kéo giãn các phân tử điện môi, cần thực hiện một công nào đó, và hợp lý khi gọi đó là năng lượng của điện môi bị phân cực. Không có gì đảm bảo rằng năng lượng này bằng với năng lượng của tương tác tĩnh điện giữa các điện tích liên kết trên bề mặt.
Volodya: Thật sao? Tôi lại nghĩ đó chính là nó. Công thực hiện khi phân cực điện môi chính là công dùng để tạo ra các điện tích liên kết \( Q_s \) và \( -Q_s \).
Thầy giáo: Tôi có một đề xuất. Vì vấn đề cốt lõi của chúng ta là điện môi và năng lượng của nó, hợp lý hơn nếu xem xét vấn đề một cách thuần túy hơn, bằng cách loại bỏ tụ điện khỏi bài toán. Giả sử ta kéo tấm điện môi ra khỏi tụ điện rất nhanh, đến mức các điện tích bên trong chưa kịp dịch chuyển – trạng thái phân cực vẫn được giữ nguyên. Sau một khoảng thời gian rất nhỏ, điện môi chắc chắn sẽ mất đi sự phân cực, vì trường điện bên ngoài đã biến mất. Khi đó, năng lượng mà nó chứa sẽ chuyển thành nhiệt. Làm thế nào để xác định năng lượng này?
Anton: Tôi nghĩ tôi biết Volodya sẽ nói gì. Hệ thống của chúng ta bây giờ gồm hai mặt phẳng mang điện tích liên kết \( \pm Q_s \), cách nhau một khoảng \( d \). Về bản chất, nó là một tụ điện không khí có điện dung \( C_0 \), nhưng được nạp với điện tích \( Q_s \). Khi đó, năng lượng của nó là:
\[ W_{\text{đ}} = \frac{Q_s^2}{2C_0} \]
Volodya: Đúng vậy, tôi cũng sẽ tìm năng lượng điện môi theo cách đó.
Thầy giáo: Tuyệt vời, bây giờ hãy xem cách tôi làm. Giả sử tôi có thể phân cực tấm điện môi của chúng ta theo một cách nào đó, sao cho không có thay đổi nào khác xảy ra trong môi trường xung quanh. Ví dụ, tôi có thể dùng tay kéo giãn từng phân tử đến trạng thái cần thiết (nhắc lại rằng chúng ta đang nói về một điện môi không phân cực). Công mà tôi thực hiện trong quá trình này sẽ được lưu trữ trong điện môi dưới dạng năng lượng \( W_{\text{đ}} \).
Sau đó, tôi đặt tấm điện môi đã được phân cực vào một tụ điện chưa nạp điện và bắt đầu nạp nó. Tôi sẽ giữ các điện tích liên kết của điện môi cố định, không để sự phân cực thay đổi. Công mà tôi cần thực hiện để nạp tụ điện đến điện tích \( Q \) là bao nhiêu?
Hiệu điện thế mà mỗi phần tử điện tích \( \Delta Q_i \) phải vượt qua bây giờ gồm hai phần. Một phần được tạo ra bởi các điện tích liên kết của điện môi \( \pm Q_s \) và có giá trị:
\[ U_s = -\frac{Q}{C_0} \]
Phần còn lại được tạo ra bởi điện tích của các bản tụ \( \pm Q_i \), là giá trị của tụ điện trước khi chuyển điện tích \( \Delta Q_i \):
\[ U_i = \frac{Q_i}{C_0} \]
Tổng công thực hiện khi chuyển toàn bộ điện tích là:
\[ A = \sum_i (U_s + U_i) \Delta Q_i = -\frac{Q_s Q}{C_0} + \frac{Q^2}{2C_0} \]
Sau khi nạp xong tụ điện, tôi có thể thả lỏng các phân tử điện môi – trạng thái phân cực của chúng bây giờ được giữ bởi trường của bản cực. Bây giờ tôi đưa hệ về trạng thái ban đầu bằng cách chuyển điện tích ngược lại. Sự phân cực của điện môi cũng sẽ thay đổi cùng với điện trường của bản cực – vì không có ai giữ các điện tích phân tử cố định nữa.
Về cơ bản, tôi đang xả điện một tụ điện bình thường có điện môi, với điện dung là \( \varepsilon C_0 \). Năng lượng giải phóng trong quá trình xả điện có thể dễ dàng tìm được. Để làm điều đó, ta thực hiện phép tính tương tự như khi tính \( W_0 \), nhưng thay \( C_0 \) bằng \( \varepsilon C_0 \). Bạn có thể dự đoán ngay kết quả không?
Anton: Tất nhiên rồi, kết quả sẽ được cho bởi công thức (1).
Thầy giáo: Chính xác. Nhưng vì mọi thứ đã quay về trạng thái ban đầu, năng lượng này phải bằng tổng công đã thực hiện khi nạp điện:
\[ W_{\text{đ}} + A = W \]
Từ đó, ta tìm được năng lượng của điện môi:
\[ W_{\text{đ}} = W - A = \frac{\varepsilon Q_s^2}{2(\varepsilon - 1) C_0} \]
Volodya: Vậy là lại có hai kết quả khác nhau – (5) và (6). Và vẫn chưa rõ cái nào đúng.
Anton: Khoan đã, tôi nghĩ tôi đã hiểu cách giải quyết vấn đề của chúng ta! Chúng ta có thể tìm năng lượng \( W_{\text{đ}} \) bằng cách tính công cần thiết để kéo giãn một phân tử điện môi, sau đó nhân với số lượng phân tử.
Volodya: Nhưng điều này quá phức tạp. Chúng ta cần phải hình dung được cấu trúc bên trong của phân tử, các lớp vỏ electron của nó, và để làm điều đó, người ta nói rằng cần đến cơ học lượng tử. Khó có thể làm được điều này.
Anton: Không, không, hãy xem đây. Chúng ta lấy mô hình đơn giản nhất của một phân tử trong điện môi không phân cực – gồm hai điện tích \( q \) và \( -q \), mà trong trạng thái bình thường, tâm của chúng trùng nhau. Nếu tách chúng ra một khoảng \( x \) ("kéo giãn" phân tử), thì xuất hiện một lực nội phân tử \( F_{\text{v}}(x) \) kéo các điện tích về vị trí ban đầu (Hình 3). Khi kéo giãn phân tử, chúng ta thực hiện công chống lại lực này. Công đó làm tăng năng lượng thế đàn hồi của phân tử.
Volodya: Vậy làm sao chúng ta tìm được công này? Chúng ta cần biết \( F_{\text{v}}(x) \) để tính toán.
Anton: Không cần đâu! Nếu chúng ta bắt đầu kéo giãn tất cả các phân tử điện môi trong điều kiện không có trường điện ngoài, chúng ta phải thắng không chỉ lực nội phân tử mà còn cả trường \( E_s \) do các điện tích liên kết tạo ra. Lực cần tác dụng lên mỗi phân tử là:
\[ F(x) = F_{\text{v}} + qE_s \]
Mặt khác, nếu sự phân cực của điện môi được tạo ra bởi một trường ngoài \( E \), thì mỗi điện tích phân tử chịu tác dụng của lực tĩnh điện:
\[ q(E - E_s) \]
Lực này phải cân bằng với lực nội phân tử, tức là:
\[ F_{\text{v}} = q(E - E_s) \]
Do đó, ta có:
\[ F(x) = qE = \frac{q\varepsilon}{\varepsilon - 1} E_s \]
(ở đây tôi đã sử dụng thực tế rằng \( E - E_s = \frac{E}{\varepsilon} \)).
Lưu ý rằng khi các điện tích phân tử dịch chuyển một khoảng \( x \), trên bề mặt tấm điện môi sẽ xuất hiện các vùng mang điện không bị bù trừ có bề dày \( x \). Do đó, ta có thể tìm được điện tích liên kết \( Q_s \) bằng cách nhân điện tích phân tử \( q \) với số phân tử trong vùng này:
\[ Q_s = q n S x \]
(trong đó \( n \) là mật độ số phân tử trong điện môi). Trường điện tạo ra bởi các điện tích liên kết này là:
\[ E_s = \frac{Q_s}{\varepsilon_0 S} = \frac{q n x}{\varepsilon_0} \]
Thay kết quả này vào công thức của \( F(x) \), ta được:
\[ F(x) = \frac{\varepsilon q^2 n}{(\varepsilon - 1) \varepsilon_0} x \]
Như vậy, trong điều kiện này, mỗi phân tử hành xử như một lò xo với độ cứng:
\[ k = \frac{\varepsilon q^2 n}{(\varepsilon - 1) \varepsilon_0} \]
Volodya: Tuyệt vời! Và không cần đến cơ học lượng tử. Giờ đây, khi đã biết sự phụ thuộc của \( F(x) \), chúng ta có thể tìm công thực hiện để kéo giãn phân tử.
Anton: Đúng vậy. Chúng ta chỉ cần lưu ý rằng để tạo ra điện tích liên kết \( Q_s \) trên bề mặt tấm điện môi, mỗi phân tử cần được kéo giãn một khoảng:
\[ x = \frac{Q_s}{q n S} \]
Công thực hiện trên một phân tử là:
\[ A_0 = \frac{k x^2}{2} = \frac{\varepsilon Q_s^2}{2(\varepsilon - 1) \varepsilon_0 n S^2} \]
Để tìm tổng công, tức là năng lượng của điện môi bị phân cực, ta nhân \( A_0 \) với số phân tử trong tấm điện môi:
\[ W_{\text{đ}} = n d S A_0 = \frac{\varepsilon Q_s^2 d}{2(\varepsilon - 1) \varepsilon_0 S} \]
Volodya: Nhưng đó chính xác là kết quả (6)!
Anton: Đương nhiên rồi, vì \( \frac{\varepsilon_0 S}{d} \) chính là \( C_0 \) – điện dung của tụ điện mà chúng ta đã lấy tấm điện môi ra khỏi.
Thầy giáo: Và bây giờ chúng ta đã hiểu tại sao kết quả này, cùng với kết quả (1) về năng lượng của tụ điện, là chính xác, trong khi các kết quả (4) và (5) của Volodya thì không.
Từ lập luận của Anton, chúng ta có thể thấy rõ lỗi của Volodya nằm ở đâu. Khi thay thế điện môi bằng các điện tích liên kết xuất hiện trên bề mặt của nó, rồi tính toán năng lượng như thể những điện tích này tồn tại trong chân không, chúng ta đã bỏ qua công thực hiện chống lại lực nội phân tử – công này làm tăng năng lượng thế đàn hồi của các phân tử.
Chúng ta chỉ tính đến công cần thiết để vượt qua lực của trường điện mà các phân tử đặt trong đó. Hay nói cách khác, chỉ có vế thứ hai trong phương trình (7) được xét đến.
Volodya: Nhưng nếu chúng ta chỉ giữ lại vế thứ hai đó, thì phép tính của Anton phải cho ra kết quả (5).
Thầy giáo: Chính xác! Hãy thử tự kiểm chứng điều đó.
#TụĐiện #ĐiệnMôi #NăngLượng #CôngThứcVậtLý #GiảiBàiTập #OlympiadVậtLý #Physics
Không có nhận xét nào: