Giá trị đích thực của bài tập đồ thị độ dịch chuyển - thời gian
B ài viết này không những đem đến cho các bạn những bài tập đồ thị độ dịch chuyển - thời gian cực hay mà còn cho các bạn thấy giá trị đích thực của bài tập đồ thị độ dịch chuyển - thời gian. Vậy giá trị đó là gì? Trước hết, chúng ta nhìn lại những bài tập đồ thị độ dịch chuyển - thời gian thường thấy, mà cụ thể là trong sách bài tập vật lí 10, bộ sách Kết nối tri thức hay Chân trời sáng tạo, hoặc cả những sách tham khảo mới nhất, bài tập chủ yếu ở mấy dạng sau:
- Cho đồ thị độ dịch chuyển - thời gian, tìm vận tốc, viết phương trình chuyển động.
- Cho biết tính chất của chuyển động, yêu cầu vẽ đồ thị độ dịch chuyển - thời gian, tìm vị trí và thời điểm hai vật gặp nhau.
Đọc xong những gì tôi viết dưới đây, các bạn sẽ thấy đồ thị nó còn là một công cụ, là phương pháp để giải các bài toán động học cực kì hiệu quả, đơn giản một cách kinh ngạc. Có những bài toán nếu giải bằng cách lập hệ phương trình phải cần đến cả trang giấy, nhưng chỉ cần một hình vẽ đơn giản và vài dòng tính toán, đồ thị đã cho bạn kết quả trong thời gian rất ngắn. Chúng ta bắt đầu bằng một ví dụ:
H ai ô tô cùng khởi hành từ hai điểm A, B trên cùng một đường thẳng, chuyển động đều hướng về nhau. Kể từ khi hai xe gặp nhau trên đường đi, sau thời gian 4 h xe từ A đến được B, còn xe từ B đến được A chỉ sau thời gian 1 h. Hãy tính thời gian từ khi khởi hành đến khi hai xe gặp nhau.
Chúng ta thử giải bài toán động học này bằng cách lập hệ phương trình nhé.
Gọi $v_1$ và $v_2$ là tốc độ của hai xe, khoảng cách giữa A và B là $\ell$. Chọn trục $Ox$ dọc theo đường đi của hai xe, gốc O trùng với A, chiều dương từ A đến B, gốc thời gian lúc hai xe xuất phát. Phương trình chuyển động của các xe lần lượt
$$
x_1=v_1t\\
x_2=-v_2t+\ell
$$
Hai xe gặp nhau khi $x_1=x_2$, suy ra
$$
t=\frac{\ell}{v_1+v_2}
$$
Vị trí gặp nhau có tọa độ
$$
x=\frac{v_1\ell}{v_1+v_2}
$$
Quãng đường xe 1 đi tiếp đến B và xe 2 đi tiếp đến A lần lượt là
$$
4v_1=\ell-\frac{v_1\ell}{v_1+v_2}=\frac{v_2\ell}{v_1+v_2}\\
v_2=\frac{v_1\ell}{v_1+v_2}
$$
Suy ra
$$
\frac{\ell}{v_1+v_2}=2
$$
Tức là thời gian từ khi khởi hành đến khi gặp nhau là
$$t=\frac{v_1\ell}{v_1+v_2}=2\ \text{s}$$
Còn bây giờ chúng ta thưởng thức giá trị đích thực của đồ thị độ dịch chuyển - thời gian nhé. Đầu tiên là vẽ đồ thị, việc vẽ đồ thị chỉ đơn giản là kẻ các đoạn thẳng thôi, đừng nặng nề về phương trình của chúng. Ở đây xe 2 nhanh hơn nên đồ thị của nó dốc hơn, vậy thôi. Xe 1 chạy từ A đến B thì đồ thị là đoạn thẳng AK hướng lên, xe 2 chạy từ B đến A thì đồ thị là đoạn thẳng hướng xuống BL (hình 1)
Vẽ xong đồ thị, chúng ta có những tam giác, độ dài các cạnh nằm ngang biểu diễn các khoảng thời gian, độ dài các cạnh thẳng đứng biểu diễn độ dịch chuyển. Bây giờ bài toán động học vật lý lớp 10 được đưa hoàn toàn về một bài toán hình học lớp 7. Ta đừng quên kí hiệu các đỉnh hình học bằng các chữ cái để tiện tư duy. Và việc cần làm bây giờ là xét các tam giác đồng dạng $$\Delta APO \text{~}\Delta KQO\ \text{và}\ \Delta BQO \text{~}\Delta LPO\\ \frac{BQ}{LP}=\frac{OQ}{OP}\ \text{và}\ \frac{OK}{PA}=\frac{OQ}{OP} $$ Suy ra $$ \frac{BQ}{LP}=\frac{OK}{PA}\ \text{hay}\ \frac{t}{4}=\frac{1}{t}\\ t=2\ \text{h} $$ Bây giờ chúng ta rút ra phương pháp tổng quát để giải các bài toán đồ thị độ dịch chuyển - thời gian. Thức chất, đây gọi là phương pháp hình học trong vật lí, tức là từ các dữ kiện vật lí, chuyển về bài toán hình học đơn giản và trực quan hơn. Các bước như sau:
- Vẽ đồ thị đọ dịch chuyển - thời gian cho mỗi chuyển động, tạo thành hệ các tam giác.
- Kí hiệu tất cả các đỉnh bằng các chữ cái, đặt kích thước các cạnh vào hình vẽ: Cạnh nằm ngang là các giá trị thời gian, cạnh thẳng đứng mang giá trị độ dịch chuyển, cạnh đã cho ghi số, cạnh chưa cho kí hiệu chữ.
- Lập các biểu thức hình học liên hệ các cạnh với nhau: Có thể áp dụng định lí Pi-ta-go, hệ thức lượng trong tam giác vuông và đặc biệt là hệ twhwcs ta giác đồng dạng.
- Giải các phương trình đã lập để tìm nghiệm.
Ví dụ 1
Hai xe cùng khởi hành từ hai điểm A, B trên cùng một đường thẳng, chuyển động đều, hướng về nhau. Xe từ A đến B sau 36 min, còn xe từ B đến A sau 45 min. Hai xe gặp nhau sau bao lâu kể từ khi khởi hành?
Đồ thị được biểu diễn như hình vẽ bên, thời gian $t = CO$.
Cũng xét các tam giác đồng dạng ta có $$ \frac{OB}{OL}=\frac{36}{45}=\frac{4}{5}\\ \frac{OB}{t}=\frac{LB}{45}=\frac{OL+OB}{45}\\ ⇒\frac{45}{t}=\frac{OL}{OB}+1$$ Cuối cùng ta được $$\frac{45}{t}=\frac{5}{4}+1\\ ⇒t=20\ \text{min}$$
Ví dụ 2
Một đoạn đường thẳng AB chiều dài 12 km. Lúc 9 h 25 min một xe chuyển động đều qua A hướng về B và đến B lúc 13 h 15 min. Lúc 11 h một xe đi đều qua B hướng về A và đến A lúc 14 h 40 min. Hai xe gặp nhau tại C cách A bao xa và tại thời điểm nào?
Vẽ hình như thường lệ (hình 3).
Từ hình vẽ ta thấy $$KM=\frac{9}{4}\ \text{h}, AN=\frac{23}{6}\ \text{h}, AL=\frac{21}{4}\ \text{h}\\ \frac{OM}{OA}=\frac{\frac{9}{4}}{\frac{21}{4}}=\frac{3}{7}$$ Mặt khác ta lại có $$\frac{OA}{MA}=\frac{t_0}{\frac{23}{6}}=\frac{6t_0}{23}\\ \text{hay}\ \frac{OA}{OM+OA}=\frac{6t_0}{23}$$ \begin{align} ⇒t_0&=\frac{23}{6\left(\frac{OM}{OA}+1\right)}\\ &=\frac{23}{6\left(\frac{3}{7}+1\right)}\\ &=\frac{161}{60}\ \text{h}\\ &=2\ \text{h} 41\ \text{min} \end{align} Khi đó ta có $$\frac{AC}{AB}=\frac{t_0}{\frac{23}{6}} \\ ⇒AC=12\times \frac{6}{23}\times \frac{161}{60}=8.4\ \text{km}$$
Ví dụ 3
Một xe đạp và một ô tô cần phải đi từ A đến B, với $AB = 11\ \text{km}$. Hai xe xuất phát đồng thời, ô tô chạy với vận tốc 60 km/h và cứ đi được 1 km lại dừng 2 min, xe đạp cũng chuyển động đều nhưng đi liên tục. Hỏi vận tốc của xe đạp phải như thế nào để nó luôn đuổi kịp ô tô ở mỗi chặng nghỉ trên đường?
Đồ thị độ dịch chuyển - thời gian của ô là các đường bậc thang, của xe đạp phải là đường thẳng (hình 4).
Điều kiện bài toán chỉ thỏa mãn khi đồ thị chuyển động của xe đạp phải được giới hạn giữa hai đường thẳng, tức là vận tốc phải có giá trị nằm trong khoảng giữa $v_1$ và $v_2$, với $$v_1=\frac{10}{30}\ \text{h/min}=20\ \text{km/h}\\ v_2=\frac{10}{28}\ \text{h/min}=21.4\ \text{km/h}$$
Ví dụ 4
Hai chất điểm đồng thời xuất phát tại hai điểm A và B, chuyển động thẳng đều hướng về nhau, chất điểm xuất phát từ A đi với tốc độ $v_1 = 4\ \text{m/s}$, đến B thì lập tức quay lại A với cùng tốc độ $v_1$, chất điểm từ B đi với tốc độ $v_2$, đến A cũng lập tức quay lại với tốc độ $v_2$. Lần gặp nhau thứ nhất và lần gặp nhau thứ hai của hai chất điểm cách nhau 4 s. Khoảng cách AB bằng bao nhiêu nếu
1. $v_2 = 7\ \text{m/s}$?
2. $v_2 = 9\ \text{m/s}$?
Tốc độ của chất điểm từ B lớn hơn nên đồ thị ứng với chuyển động này là đường thẳng có độ dốc lớn hơn so với chất điểm từ A.
1. Với $v_2 = 7\ \text{m/s}$
Trường hợp này thì
$$BD=\frac{2s}{7}\gt BE=\frac{s}{4}$$
Nên lần gặp nhau thứ hai xảy ra sau khi chất điểm từ A quay lại từ B. Từ hình 5 ta có:
Tổng khoảng cách $KK_2+L_2 L$ là quãng đường chất điểm từ A đi trong thời gian 4 s, ta có thể tính được
$$KK_2+L_2 L=4\times4=16\ \text{m}$$
Tương tự ta có
$$KK_1+L_1 L=4v_2$$
Khoảng cách AB được tính
$$s=\frac{1}{2} \left(KK_2+L_2 L+KK_1+L_1 L\right)=8+2v_2\\
s=8+2\times7=22\ \text{m}$$
2. Với $v_2 = 9\ \text{m/s}$
Các bạn tự vẽ đồ thị và giải nhé.
Ví dụ 5
Tay đua A xuất phát trước 15 phút so với tay đua B, tại cùng một địa điểm và cả hai cùng chạy thẳng đều về đích. Tay đua B vượt qua tay đua A tại nơi cách đều đích và điểm xuất phát, rồi đến đích tại thời điểm mà tay đua A còn cách đích một phần ba quãng đường đua. Tay đua A phải mất bao nhiêu thời gian cho cuộc đua này?
Từ hình vẽ ta thấy hai tam giác bằng nhau $$\Delta AEL=\Delta KEM$$ Tức là ta có $$MK=AL=15\ \text{min}$$ Với hệ thức tỉ lệ các tam giác đồng dạng: $$\frac{AP}{15}=\frac{AB}{\frac{1}{3} AB}=3\\ ⇒AP=45\ \text{min}$$ Vậy thời gian tay đua A phải đi là 45 phút.
Ví dụ 6
Cùng đi thẳng đều từ A đến B, ban đầu người đi bộ xuất phát, sau 2 giờ thì người đi xe đạp xuất phát và sau 30 phút nữa thì người đi xe máy xuất phát. Ba người cùng đi qua một vị trí tại cùng một thời điểm. Người đi bộ đến B chậm hơn 1 giờ so với xe máy và chậm hơn xe đạp bao lâu?
Vẫn là các tam giác đồng dạng, ta có $$\frac{VP}{2}=\frac{QP}{QA}=\frac{1}{2.5}\\ \Rightarrow VP=\frac{2}{2.5}=0.8\ \text{h}$$ Suy ra thời gian từ khi xe đạp cán đích đến khi người đi bộ cán đích là 0,8 h = 48 min
Ví dụ 7
Ba người, một đi bộ, một đi xe đạp và một đi xe máy xuất phát đồng thời và đi thẳng đều cùng hướng. Người đi bộ và người đi xe đạp cùng xuất phát tại A, còn người đi xe máy xuất phát tại B cách A 6 km, đuổi theo hai người kia. Khi người đi xe máy đuổi kịp xe đạp thì anh ta cách người đi bộ 3 km. Hỏi khi người đi xe máy đuổi kịp người đi bộ thì anh ta cách người đi xe đạp bao xa?
Từ hình vẽ ta có $$\frac{PQ}{6}=\frac{PE}{AE}\ \text{và}\ \frac{PQ}{3}=\frac{AP}{AE}\\ \Rightarrow AP=2PE\ \text{hay}\ AP=\frac{2}{3} AE\\ PQ=\frac{2}{3} EF=2\ \text{km}$$ Vậy xe máy đuổi kịp người đi bộ khi còn cách người đi xe đạp 2 km.
Ví dụ 8
Lúc 8 h ông Minh xuất phát tại thành phố A đi về thành phố B. Trước lúc ông Minh đến thành phố B 6 h thì từ thành phố B, bà Hoa xuất phát và đến thành phố A lúc 17 h. Biết khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 400 km và chuyển động của hai người là thẳng đều. Hai người gặp nhau trên đường tại nơi cách thành phố A bao xa?
Dễ dàng nhận thấy $$\frac{x}{9}=\frac{400-x}{6}\\ \Rightarrow x=240\ \text{km}$$
Bài tập tự giải
Bài 1
Hai khách du lịch khởi hành cùng lúc về phía nhau từ hai điểm A và B. Lúc gặp nhau, người thứ nhất đi được hơn người thứ hai 30 km và sau 4 giờ nữa anh ta sẽ đến B. Người thứ hai đến A sau 9 giờ kể từ khi gặp nhau. Tìm quãng đường AB và vận tốc của mỗi khách du lịch.
Bài 2
Hai người đi bộ về phía nhau từ hai điểm A và B trên một đường thẳng. Ông An rời A muộn hơn 6 h so với khi bà Bình rời B, và lúc gặp nhau thì ông An đã đi bộ ít hơn bà Bình 12 km. Từ khi gặp nhau, ông An đến B sau 8 giờ, bà Bình đến A sau 9 giờ. Tìm vận tốc của mỗi người đi bộ.
Bài 3
Nếu chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau 4 h bể sẽ đầy nước. Tuy nhiên, sau 2 h vòi thứ nhất bơm nước, người ta mở thêm vòi thứ hai
Bể chứa đầy ống thứ nhất trong 4 giờ. Sau khi mở ống thứ nhất 2 giờ thì mở ống thứ hai, qua đó trong 6 giờ có thể lấp đầy toàn bộ bể. Hỏi toàn bộ bể được lấp đầy trong bao nhiêu giờ với?
Bài 4
Người đi bộ đi từ điểm A đến điểm B. Sau 3/4 giờ một người đi xe đạp rời A đi về B. Kể từ khi người đi xe đạp đến B thì người đi bộ phải đi thêm 3/8 quãng đường nữa mới đến B. biết rằng người đi xe đạp đuổi kịp người đi bộ tại vị trí cách đều A và B. Người đi bộ phải mất bao nhiêu thời gian trên cả quãng đường?
Bài 5
Một chiếc bè đi xuôi dòng từ Bến tàu A đến Bến tàu B. Theo anh, sau 1/2 giờ một chiếc thuyền xuất phát từ bến A, và sau 1 giờ nữa có một chiếc thuyền. Chiếc bè, chiếc thuyền và chiếc thuyền chuyển động thẳng đều và không dừng lại. Một thời gian sau khi chiếc thuyền rời bến, hóa ra đến giờ phút này họ đã đi chung một đoạn đường từ A đến B. Thuyền đến bến B bao nhiêu phút trước khi bè đến bến B nếu bè đến bến B muộn hơn thuyền 15 phút?
Bài 6
Một người đang đi bộ dọc theo một con đường với tốc độ không đổi, người đi xe đạp và người đi xe máy đang chuyển động về phía anh ta với vận tốc không đổi cũng trên con đường đó. Tại thời điểm khi người đi xe đạp và người đi xe máy ở cùng một điểm thì người đi bộ cách họ 8 km. Tại thời điểm người đi xe máy gặp người đi bộ thì người đi xe máy đi sau người đi bộ 4 km. Người đi xe máy sẽ vượt người đi xe đạp bao nhiêu km vào thời điểm người đi bộ gặp người đi xe đạp?
Bài 7
Một máy bay cất cánh từ điểm A bay đến điểm B, sau 3 giờ một máy bay trực thăng cất cánh ngược chiều (từ B bay đến A) và sau 3 giờ nữa thì hai máy bay bay ngang qua nhau. Máy bay đến B lúc 13h30 và trực thăng đến A lúc 20h30. Tìm thời gian bay của máy bay từ A.
Bài 8
Một người đi bộ rời điểm A để đến điểm B lúc 7 giờ, và một lúc sau người đi bộ rời B để đến điểm A. Người đi bộ đến B 12 giờ sau khi người kỵ mã rời đi. Người cầm lái đến A lúc 17h cùng ngày. Tốc độ của người đi bộ và người đi xe là không đổi. Người đi bộ đã đi bao xa từ A đến B trước khi gặp người đi xe?
Bài 9
Đường đi liên tiếp qua các điểm A, B, C và D. Khoảng cách từ B đến C là 12 km. Một người đi xe máy đi từ A đến D với vận tốc không đổi. Cùng lúc đó, một người đi bộ và một người đi xe đạp khởi hành từ B đến D với vận tốc không đổi. Khi người đi xe máy đuổi kịp người đi bộ thì người đi xe đạp đã vượt họ thêm 6 km. Tại điểm C, người đi xe máy đuổi kịp người đi xe đạp và khi đến điểm D, người đi xe máy ngay lập tức quay trở lại A, gặp người đi bộ lần thứ hai tại C. Tìm khoảng cách giữa A và B nếu biết thời điểm xuất phát của chuyển động đến thời điểm gặp lại người đi xe máy và người đi bộ dài gấp 4 lần thời gian từ lúc bắt đầu chuyển động đến lúc người đi xe máy lần đầu đuổi kịp người đi xe đạp.
Không có nhận xét nào: